Empecemos a hablar de una de las aplicaciones de la diagonalización de las matrices cuando escribo una matriz A en la forma de diagonalización factorizada, creo que podría hacerlo en forma más eficiente si calculo potencias muy grandes de esa matriz en forma relativamente simple; por ejemplo supongamos que tengo la forma de diagonalizar la matriz A, que pasaría si trato de calcular A al cuadrado? basado en esa diagonalización, A al cuadrado es igual a A x A, por lo tanto puedo escribir A en su forma factorial como P D P Inversa por P D P Inversa; por las propiedades de la multiplicación de matrices puedo re asociar la parte del medio de estas matrices, en otras palabras aplicar 1ro esa multiplicación, P Inversa x P es la matriz identidad, es decir que el resultado es P D I D P Inversa, sin embargo, la Identidad multiplicada por cualquier matriz te da esa matriz, por lo que puedo re asociar otra vez D x Identidad es D, en otras palabras D x D que me da D al cuadrado en el medio, por lo tanto obtengo el siguiente resultado P D al cuadrado P Inversa, para poder calcular A al cuadrado yo podría por el otro lado calcular P D al cuadrado P Inversa, y como veremos en un momento si calculo una potencia mayor de A emerge el mismo patrón, y me permite ahorrar un montón de cálculos, simplemente extendiendo el exponente acá a la matriz diagonal si extendemos este ejemplo en una forma natural para potencias más grandes, puedo usar el mismo argumento, escribir A en su forma cúbica factorizada, juntar esas matrices diagonales en el medio y escribir P D al cubo P Inversa , lo mismo sucede para A a la cuarta y para cualquier potencia entera y positiva, A elevado a la K, por inducción, en otras palabras "se sigue de ahí qué" es igual a P por la matriz diagonalizada elevada a la potencia K por P Inversa; tomemos notas de la cantidad de cálculos que nos ahorramos si K es una potencia colosal de 10.000 o lo que sea, en vez de hacer cálculos y cálculos molestos para calcular con productos escalares la potencia de A, yo puedo hacer en vez de ello, simplemente multiplicar estas 3 matrices en forma conjunta; me puedo preguntar, esperá un segundo, qué sucede si el cálculo de la potencia requiere determinar la diagonal de la matriz D elevada a una potencia; resulta que elevar una matriz diagonal a una potencia, por ejemplo digamos, la matriz a 0 0 b, para elegir un ejemplo simple, vamos a elevarla a la potencia K, esto es equivalente, si lo pensamos a la multiplicación de matrices que eleva cada uno de los componentes a lo largo de la diagonal, ahora va a quedar todo claro, elevamos todo a la potencia K, entonces en forma abreviada, no es tanta tarea elevar una matriz diagonal a una potencia grande mucho mejor que hacer esto muchas muchas veces, es decir cálculos tediosos para A