Empecemos a hablar de una de las aplicaciones de la diagonalización de las
matrices
cuando escribo una matriz A en la forma de diagonalización factorizada, creo que
podría hacerlo en forma más eficiente si calculo potencias muy grandes de esa
matriz en forma relativamente simple; por ejemplo supongamos que tengo la forma de
diagonalizar la matriz A, que pasaría si trato de calcular A al cuadrado? basado en
esa diagonalización, A al cuadrado es igual a A x A, por lo tanto puedo escribir
A en su forma factorial como P D P Inversa por P D P Inversa; por las propiedades de
la multiplicación de matrices puedo re asociar la parte del medio de estas
matrices, en otras palabras aplicar 1ro esa multiplicación, P Inversa x P es la
matriz identidad, es decir que el resultado es P D I D P Inversa, sin
embargo, la Identidad multiplicada por cualquier matriz te da esa matriz, por lo
que puedo re asociar otra vez D x Identidad es D, en otras palabras D x D
que me da D al cuadrado en el medio, por lo tanto obtengo el siguiente resultado P
D al cuadrado P Inversa, para poder calcular A al cuadrado yo podría por el
otro lado calcular P D al cuadrado P Inversa, y como veremos en un momento si
calculo una potencia mayor de A emerge el mismo patrón, y me permite ahorrar un
montón de cálculos, simplemente extendiendo el exponente acá a la matriz
diagonal
si extendemos este ejemplo en una forma natural para potencias más grandes, puedo
usar el mismo argumento, escribir A en su forma cúbica factorizada, juntar esas
matrices diagonales en el medio y escribir P D al cubo P Inversa , lo mismo sucede
para A a la cuarta y para cualquier potencia entera y positiva, A elevado a la
K, por inducción, en otras palabras "se sigue de ahí qué" es igual a P por la
matriz diagonalizada elevada a la potencia K por P Inversa; tomemos notas de la
cantidad de cálculos que nos ahorramos si K es una potencia colosal de 10.000 o lo
que sea, en vez de hacer cálculos y cálculos molestos para calcular con
productos escalares la potencia de A, yo puedo hacer en vez de ello, simplemente
multiplicar estas 3 matrices en forma conjunta; me puedo preguntar, esperá un
segundo, qué sucede si el cálculo de la potencia requiere determinar la diagonal
de la matriz D elevada a una potencia; resulta que elevar una matriz diagonal a
una potencia, por ejemplo digamos, la matriz a 0 0 b, para elegir un ejemplo
simple, vamos a elevarla a la potencia K, esto es equivalente, si lo pensamos a la
multiplicación de matrices que eleva cada uno de los componentes a lo largo de la
diagonal, ahora va a quedar todo claro, elevamos todo a la potencia K, entonces en
forma abreviada, no es tanta tarea elevar una matriz diagonal a una potencia grande
mucho mejor que hacer esto muchas muchas veces, es decir cálculos tediosos para A