El proceso de diagonalizar una matriz está
muy relacionado con poder encontrar los

eigenvalores y los eigenvectores de la
matriz dada

el núcleo de la idea es capturar la 
siguiente ecuación; cuando estamos

diagonalizando una matriz, digamos A,
asumimos que es cuadrada n x n, lo que

queremos hacer es escribir esta matriz en
esta forma particular de factores y que es

el producto de 3 matrices, P D y P inversa
específicamente D, que viene de diagonal

es una matriz diagonal que consiste en los
eigenvalores de A y P es el eigenvector

que sale de la matriz, en otras palabras 
escribimos los eigenvectores

de A para construir P en una forma de
columna

si es posible queremos darle a la matriz A
una forma diagonal, que significa

escribirla en esta forma particular de 
factores; usé la expresión "si es posible"

por la razón de que no todas las matrices
pueden ser escritas en esta forma

particular de factores; no es posible
diagonalizar cada matriz; lo que

necesitamos para poder diagonalizarla es
esencialmente, necesitamos los suficientes

eigenvectores para llenar la matriz P, 
para diagonalizar una matriz necesitamos

entonces n, digamos diferentes, otra vez 
es una matriz de n x n, necesitamos

distintos n eigenvectores, esto es 
importante, nota: A es diagonalizable

si tiene n eigenvectores diferentes y la
razón por la que necesitamos esto

el criterio que debemos satisfacer es que
si tenemos distintos eigenvectores tengo

los números suficientes para poder 
completar P y dicho sea de paso, esa

matriz debe ser invertible, un teorema que
sale del álgebra lineal nos garantiza la

existencia de la inversa de P; bien, 
cuando completo con los eigenvalores para

la matriz diagonal D y se corresponde
a la derecha con los eigenvectores en una

forma de columna en P, necesito mantener
el mismo orden para los eigenvalores y

para los eigenvectores asociados, entonces
necesito que se correspondan, por ejemplo

el 1er eigenvalor que listamos en D se
corresponde con el 1er eigenvector que

listamos en la matriz P

Para diagonalizar una matriz, en otras
palabras colocar en esta forma los

factores particulares, necesito 1ro 
conocer los eigenvalores y los

eigenvectores de esa matriz

vamos a comenzar con nuestro método acá
para diagonalizar una matriz hallando los

Lambda correspondientes y los 
eigenvectores asociados; ya hemos hecho

anteriormente, calculemos los eigenvalores
y los eigenvectores para una matriz nueva

voy a hacer una matriz de 2 x 2, 
consideremos la matriz esta vez A y

trabajemos con esa matriz de la siguiente
forma 0 1 2 1;lo 1ro que queremos saber es

si es diagonalizable, en otras palabras si
hay un número suficiente de eigenvectores

diferentes, en este caso vamos a necesitar
2 eigenvectores diferentes para poder

diagonalizarla en forma apropiada, debido
a que es una matriz de 2 x 2; comenzamos

encontrando los eigenvalores y luego los
eigenvectores asociados, empezamos

resolviendo la ecuación característica que
está asociada con esa matriz, en forma

nominal ésta que está acá, A - Lambda por
la Identidad que es = a 0; entonces a la

izquierda tenemos lo que se llama el
polinomio característico, hagamos esto en

un número razonable de pasos así podemos
obtener el determinante de la matriz de 2

x 2, esencialmente restamos Lambda de la
diagonal principal, esto me lleva a Lambda

Lambda negativo, disculpas, 1, 2 y 1 - 
Lambda, para A - Lambda tomamos el

determinante y que es igual a 0, así que
otra vez el determinante de una matriz de

2 x 2 se calcula como ad - bc, el 
resultado que obtenemos es Lambda negativo

por la cantidad (1 - Lambda) menos bc, que
en este caso es -2 = 0; sigamos adelante y

resolvamos esa ecuación cuadrática en 
Lambda lo más eficientemente posible, lo

que hago es distribuir el -Lambda entre 
los términos del binomio, tengo -Lambda,

-Lambda por -Lambda es positivo Lambda al
cuadrado - 2 = 0; podemos resolverlo

usando la fórmula cuadrática, por supuesto
siempre, aquí por suerte puedo tomar estos

factores y reordenar las cosas, para que 
se vea un poco más convencional, lo hago

en orden descendiente con relación a las
potencias, entonces Lambda al cuadrado -

Lambda - 2 = 0, por suerte tiene los
factores suficientes, podemos escribir

esto como Lambda - 2 por la cantidad, 
Lambda + 1 = 0, esto implica que o bien

Lambda = 2 o Lambda = -1; seguro estos son
los eigenvalores asociados con esa matriz

en particular A

Ahora que tenemos esos eigenvalores 2 y -1
para la matriz respectiva A, podemos

seguir adelante y como antes calcular los
eigenvectores asociados con cada uno de

esos eigenvalores; vamos adelante y 
hagámoslo de antemano así nos ahorramos un

poco de tiempo, podemos verificar, por
supuesto uno puede seguir los

procedimientos de la sección anterior, 
entonces para representar esos

eigenvectores asociados con los 
eigenvalores está el vector 1 2 que voy a

etiquetar como v sub 2 lo que indica que
es el eigenvector asociado con el

eigenvalor 2; por el otro lado, un posible
eigenvector representativo asociado con el

valor -1, el eigenvalor -1, uso el 
subtexto -1 acá, sólo para que quede claro

es el vector 1 -1

acá nuestro objetivo es diagonalizar la
matriz A si es que eso es posible y de

hecho esta matriz es diagonalizable,
nominalmente debido a que tenemos 2

distintos eigenvectores asociados con A,
avancemos y escribamos la factorización y

confirmemos con la multiplicación de 
matrices que es de hecho validada, que es

de hecho = a A; escribo A como la matriz P
como mi matriz de eigenvectores que se

leen en forma de columna, por tanto lo
escribo en el mismo orden, 1 2 y 1 -1, acá

está mi matriz P y algo importante tengo
que escribir la matriz diagonalizada,

escribo la matriz diagonalizada acá, en
términos de eigenvalores en el mismo orden

en el cual listé los eigenvectores, en
otras palabras tengo que listar el

eigenvalor 2 1ro y pongo los componentes
de la diagonal ahí y luego en la 2da

columna listo el eigenvalor asociado con
el 2do eigenvector listado, que por

supuesto es -1, acá está mi matriz 
diagonal D, que otra vez, mantiene el

mismo orden que los eigenvectores listados
en P y por último voy a calcular la

inversa de P, yo ya lo hice antes, ustedes
pueden verificarlo que de hecho esta

matriz Inversa de P, cuando la mutliplico
por P me da como resultado igual al de la

matriz Identidad

acá está mi matriz Inversa de P; ahora 
vamos a seguir adelante y para ser

totalmente justos, multiplicar estas 
matrices para confirmar que nuestro

resultado es igual a A

Voy a seguir adelante y multiplicar estas
matrices, ustedes pueden verificar por su

cuenta que pueden hacerlo en forma exitosa
les recuerdo que la multiplicación de

matrices es asociativa, por lo que puedo
agrupar como lo prefiera, multipliqué 1ro

las 2 1ras matrices en forma conjunta, los
resultados de la matriz de la izquierda y

luego multipliqué por la Inversa de P y
volví a la matriz original A

de hecho hemos tenido una factorización, 
en forma específica diagonalizamos la

matriz A