El proceso de diagonalizar una matriz está muy relacionado con poder encontrar los
eigenvalores y los eigenvectores de la matriz dada
el núcleo de la idea es capturar la siguiente ecuación; cuando estamos
diagonalizando una matriz, digamos A, asumimos que es cuadrada n x n, lo que
queremos hacer es escribir esta matriz en esta forma particular de factores y que es
el producto de 3 matrices, P D y P inversa específicamente D, que viene de diagonal
es una matriz diagonal que consiste en los eigenvalores de A y P es el eigenvector
que sale de la matriz, en otras palabras escribimos los eigenvectores
de A para construir P en una forma de columna
si es posible queremos darle a la matriz A una forma diagonal, que significa
escribirla en esta forma particular de factores; usé la expresión "si es posible"
por la razón de que no todas las matrices pueden ser escritas en esta forma
particular de factores; no es posible diagonalizar cada matriz; lo que
necesitamos para poder diagonalizarla es esencialmente, necesitamos los suficientes
eigenvectores para llenar la matriz P, para diagonalizar una matriz necesitamos
entonces n, digamos diferentes, otra vez es una matriz de n x n, necesitamos
distintos n eigenvectores, esto es importante, nota: A es diagonalizable
si tiene n eigenvectores diferentes y la razón por la que necesitamos esto
el criterio que debemos satisfacer es que si tenemos distintos eigenvectores tengo
los números suficientes para poder completar P y dicho sea de paso, esa
matriz debe ser invertible, un teorema que sale del álgebra lineal nos garantiza la
existencia de la inversa de P; bien, cuando completo con los eigenvalores para
la matriz diagonal D y se corresponde a la derecha con los eigenvectores en una
forma de columna en P, necesito mantener el mismo orden para los eigenvalores y
para los eigenvectores asociados, entonces necesito que se correspondan, por ejemplo
el 1er eigenvalor que listamos en D se corresponde con el 1er eigenvector que
listamos en la matriz P
Para diagonalizar una matriz, en otras palabras colocar en esta forma los
factores particulares, necesito 1ro conocer los eigenvalores y los
eigenvectores de esa matriz
vamos a comenzar con nuestro método acá para diagonalizar una matriz hallando los
Lambda correspondientes y los eigenvectores asociados; ya hemos hecho
anteriormente, calculemos los eigenvalores y los eigenvectores para una matriz nueva
voy a hacer una matriz de 2 x 2, consideremos la matriz esta vez A y
trabajemos con esa matriz de la siguiente forma 0 1 2 1;lo 1ro que queremos saber es
si es diagonalizable, en otras palabras si hay un número suficiente de eigenvectores
diferentes, en este caso vamos a necesitar 2 eigenvectores diferentes para poder
diagonalizarla en forma apropiada, debido a que es una matriz de 2 x 2; comenzamos
encontrando los eigenvalores y luego los eigenvectores asociados, empezamos
resolviendo la ecuación característica que está asociada con esa matriz, en forma
nominal ésta que está acá, A - Lambda por la Identidad que es = a 0; entonces a la
izquierda tenemos lo que se llama el polinomio característico, hagamos esto en
un número razonable de pasos así podemos obtener el determinante de la matriz de 2
x 2, esencialmente restamos Lambda de la diagonal principal, esto me lleva a Lambda
Lambda negativo, disculpas, 1, 2 y 1 - Lambda, para A - Lambda tomamos el
determinante y que es igual a 0, así que otra vez el determinante de una matriz de
2 x 2 se calcula como ad - bc, el resultado que obtenemos es Lambda negativo
por la cantidad (1 - Lambda) menos bc, que en este caso es -2 = 0; sigamos adelante y
resolvamos esa ecuación cuadrática en Lambda lo más eficientemente posible, lo
que hago es distribuir el -Lambda entre los términos del binomio, tengo -Lambda,
-Lambda por -Lambda es positivo Lambda al cuadrado - 2 = 0; podemos resolverlo
usando la fórmula cuadrática, por supuesto siempre, aquí por suerte puedo tomar estos
factores y reordenar las cosas, para que se vea un poco más convencional, lo hago
en orden descendiente con relación a las potencias, entonces Lambda al cuadrado -
Lambda - 2 = 0, por suerte tiene los factores suficientes, podemos escribir
esto como Lambda - 2 por la cantidad, Lambda + 1 = 0, esto implica que o bien
Lambda = 2 o Lambda = -1; seguro estos son los eigenvalores asociados con esa matriz
en particular A
Ahora que tenemos esos eigenvalores 2 y -1 para la matriz respectiva A, podemos
seguir adelante y como antes calcular los eigenvectores asociados con cada uno de
esos eigenvalores; vamos adelante y hagámoslo de antemano así nos ahorramos un
poco de tiempo, podemos verificar, por supuesto uno puede seguir los
procedimientos de la sección anterior, entonces para representar esos
eigenvectores asociados con los eigenvalores está el vector 1 2 que voy a
etiquetar como v sub 2 lo que indica que es el eigenvector asociado con el
eigenvalor 2; por el otro lado, un posible eigenvector representativo asociado con el
valor -1, el eigenvalor -1, uso el subtexto -1 acá, sólo para que quede claro
es el vector 1 -1
acá nuestro objetivo es diagonalizar la matriz A si es que eso es posible y de
hecho esta matriz es diagonalizable, nominalmente debido a que tenemos 2
distintos eigenvectores asociados con A, avancemos y escribamos la factorización y
confirmemos con la multiplicación de matrices que es de hecho validada, que es
de hecho = a A; escribo A como la matriz P como mi matriz de eigenvectores que se
leen en forma de columna, por tanto lo escribo en el mismo orden, 1 2 y 1 -1, acá
está mi matriz P y algo importante tengo que escribir la matriz diagonalizada,
escribo la matriz diagonalizada acá, en términos de eigenvalores en el mismo orden
en el cual listé los eigenvectores, en otras palabras tengo que listar el
eigenvalor 2 1ro y pongo los componentes de la diagonal ahí y luego en la 2da
columna listo el eigenvalor asociado con el 2do eigenvector listado, que por
supuesto es -1, acá está mi matriz diagonal D, que otra vez, mantiene el
mismo orden que los eigenvectores listados en P y por último voy a calcular la
inversa de P, yo ya lo hice antes, ustedes pueden verificarlo que de hecho esta
matriz Inversa de P, cuando la mutliplico por P me da como resultado igual al de la
matriz Identidad
acá está mi matriz Inversa de P; ahora vamos a seguir adelante y para ser
totalmente justos, multiplicar estas matrices para confirmar que nuestro
resultado es igual a A
Voy a seguir adelante y multiplicar estas matrices, ustedes pueden verificar por su
cuenta que pueden hacerlo en forma exitosa les recuerdo que la multiplicación de
matrices es asociativa, por lo que puedo agrupar como lo prefiera, multipliqué 1ro
las 2 1ras matrices en forma conjunta, los resultados de la matriz de la izquierda y
luego multipliqué por la Inversa de P y volví a la matriz original A
de hecho hemos tenido una factorización, en forma específica diagonalizamos la
matriz A