ahora tenemos a mano los eigenvalores, vayamos a encontrar los eigenvectores para
cada 1 de esos eigenvalores; vamos a ver 2 casos, en el 1er caso vamos a considerar
el caso cuando Lambda es igual a 2, cómo puedo encontrar un eigenvector, bueno
necesitamos recordar cuando en la definición dijimos que es un vector que es
diferente de 0 que satsiface la ecuación fundamental Av = Lambdav, ahora puedo con
certeza en este caso en particular introducir el valor 2 en vez de Lambda,
reemplazo a Lambda acá y luego quiero hayar un vector v que satisfaga esa
ecuación; otra forma de resolver este problema usando técnicas de álgebra lineal
acá voy a agilizar el proceso, así mediante inspección podamos básicamente
encontrar el eigenvector v; para resolver esta ecuación de matriz, dicho sea de paso
es intentar resolver la versión del factor de esa ecuación de la matriz, en otras
palabras A - 2I v que es igual a 0, vamos a investigar ahora la expresión dentro de
los paréntesis, qué es A - 2 por la Identidad? bueno efectivamente voy a
restar 2 de la diagonal principal de A, entonces 3 - 2 es 1, 3 -2 es 1, entonces
esta expresión es equivalente a la matriz de 2 x 2 de todos 1, ahora hay que
resolver v, voy a introducir los componentes X por mi vector v que es = 0 0
ahora voy a resolver esa ecuación de la matriz correspondiente, donde este será mi
eigenvector v; por inspección puedo ver fácilmente que si elijo, por ejemplo, v =
-1 1, el eigenvector será completamente satisfactorio, en otras palabras 1 1 por
-1 1 es = a 0 con respecto a ambos renglones; en resumen podemos decir que
para el eigenvalor de 2 en esta matriz A, un eigenvector correspondiente es -1 1, es
importante notar que en realidad cualquier múltiplo escalar que sea diferente de 0 de
este eigenvector será un eigenvector adecuado que es representativo, -1 1 es
una versión simple de los eigenvectores particulares y también podemos notar que
podemos hacer la representación geométrica del mismo problema para los eigenvectores
de la matriz A, este es el vector que tenemos asociado con el eigenvalor de 2,
el 2do caso, sólo para terminar, consideramos cuando Lambda es = a 4,
cuando el eigenvalor es 4, vamos a resolver la ecuación de la matriz A -
Lambda - 4 por la Identidad por v que es = a 0; otra vez investiguemos la expresión,
qué es A - 4 por Identidad?, bueno es lo mismo que restar 4 de la diagonal
principal, 3 - 4 es -1 en ambos casos, entonces acá tenemos -1 1 1 -1 por mi
eigenvector, digamos v X Y que es = a 0 0 queremos acá algo que satisfaga esa
ecuación de la matriz, otra vez hagamos que sea lo más simple posible, mediante
inspección notemos que si digo v = al vector 1 1, -1 1 por 1 1 es = 0 en ambos
casos, en resumen para el valor del eigenvalor Lambda de 4 tenemos este
eigenvector asociado de 1 1, que otra vez es coherente con la representación
geométrica que hicimos hace un momento, acá tenemos un lindo ejemplo del cálculo
para poder encontrar los eigenvalores y los eigenvectores a mano para matrices y
lo lindo de esto, este es un caso relativamente simple de una matriz de 2 x
2, este procedimiento se puede generalizar para matrices de más dimensiones y así
concluimos nuestra sección sobre eigenvectores y eigenvalores