Hablamos recién acerca de cómo se puede
calcular eigenvalores y eigenvectores dada

una matriz A; ok recordemos que si tenemos
una matriz cuadrada A y eigenvectores y

eigenvalores asociados con esa matriz que
satisfacen la ecuación que vemos, donde el

eigenvector v es distinto de 0 por 
definición, pero sin embargo tenemos

permitido y está bueno que nos demos 
cuenta, que el valor Lambda puede ser 0

si lo pensamos geométricamente, si Lambda
es 0, eso no significa que la acción de

multiplicar ese eigenvector particular por
la matriz A, a la izquierda resulta en

escalar el vector por 0, en otras palabras
degeneramos el vector hacia el origen, a

un punto esencialmente; en cualquier caso
v no puede ser 0, pero Lambda puede ser 0

este es un caso especial pero importante
para las matrices

Veamos, esencialmente queremos resolver
para v, entonces tenemos algunas

propiedades de los espacios vectoriales o
propiedades algebraicas de las matrices,

las voy a usar en forma libre acá, son
naturales, quiero resolver para v,

entonces junto todos los términos, 
esencialmente en un solo lado de la

ecuación, en otras palabras voy a restar
Lambda v de ambos lados; en la izquierda

tengo Av - Lambda v y en el lado derecho
tengo que ser cuidadoso, un vector - un

vector, resulta en el vector 0, pero el
vector 0 es el 1er paso; efectivamente

quiero resolver para v acá, ustedes pueden
notar que hay una propiedad distributiva

que es verdad para las matrices, en otras
palabras puedo factorear el v en el lado

derecho, aislar el v en cierto modo, lo 
que queda, pongo el paréntesis acá y tengo

a v, lo que queda por factorear de v en el
1er término es simplemente A, luego - y

luego intento escribir el Lambda, pero
debo ser cuidadoso acá, una matriz -

Lambda, que es un escalar no está definido
entonces necesito esencialmente agregar un

espacio para la matriz que no es otra cosa
que la matriz Identidad; A - Identidad por

Lambda, luego v es igual al vector 0 acá

Hay algo que se llama el Teorema 
Fundamental del Algebra Lineal y que

resuelve esta ecuación para Lambda es
equivalente a resolver esta ecuación de

polinomios, el determinante que ya vimos
de A - A x Lambda es igual a 0, el

determinante es un número que es igual a
un escalar

Lo que va a suceder a la izquierda es lo
que se llama el polinomio característico

que está asociado con esa matriz en 
particular y necesitamos resolver esa

ecuación de polinomios, vamos a resolver
esa ecuación

en primer lugar, para Lambda, en otras
palabras, si tenemos una matriz, lo 1ro

cuando usamos esta ecuación para resolver
Lambda y en segundo lugar es inspeccionar

y encontrar el eigenvector que llamamos v
y que está asociado con cada Lambda en

particular, hagamos eso ya mismo

entonces ahora vamos a calcular algunos
eigenvalores y algunos eigenvectores para

la matriz A acá, vamos a usar el mismo 
ejemplo que antes, 3 1 1 3 y los pasos

esencialmente son 2 que siguen este orden
dada una matriz cuadrada A de n x n, vamos

a resolver 1ro lo que llamamos la ecuación
característica, vamos a resolver el

determinante que derivamos previamente, A
- Lambda, tengo que calcular el Lambda a

la izquierda, esencialmente escalando la
matriz identidad por Lambda, vamos a

resolver esta ecuación para Lambda, vamos
a tener los valores de Lambda a mano,

luego por cada valor de Lambda vamos a
encontrar los eigenvectores asociados

mediante inspección

Vamos 1ro a trabajar con esta expresión, 
qué es A - Lambda I, en términos de la

matriz dada? bueno A, vamos a usar un poco
de cálculo de matrices, es 3 1 1 3 -

Lambda por la matriz Identidad de 2 
dimensiones, que por definición es 1 0 0 1

ahora escalamos la matriz Identidad por
Lambda, entonces distribuimos Lambda por

los componentes y me queda 3 1 1 3 - ahora
Lambda 0 0 Lambda, escalamos la matriz por

Lambda; cómo hago para restar matrices o
para sumarlas, para el caso es lo mismo,

lo hago componente por componente y mi
matriz resultante al final es una de 2 x 2

3 - Lambda, es mi componente de arriba a
la izquierda y luego me muevo y veo 1 - 0

que es 1, 1 - 0 es 1 y luego 3 - Lambda 
abajo a la derecha

Ahora queremos ver el determinante de esta
matriz y asignar a ese resultado la

igualdad con 0; entonces recordemos que 
para calcular el determinante de una

matriz de 2 x 2 hacemos una suerte de
producto cruzado, ad - bc, veamos que

sucede; digamos que el determinante de A -
Lambda por Identidad, es el determinante

de esta matriz 3 - Lambda 1 1 3 - Lambda,
ad - bc me da 3 - Lambda elevado al

cuadrado - 1 y decimos que esto es igual a
0; esta ecuación se llama la ecuación

característica que queda asociada a esa
matriz A y a la izquierda tengo, como ya

dijimos antes un polinomio característico

para A; en orden de poder informar 1ro los
eigenvalores para una matriz dada A, lo

que básicamente hacemos al final es 
resolver una ecuación polinomial, entonces

cuando tengo una matriz de 2 x 2, 
efectivamente voy a resolver una ecuación

de un polinomio cuadrático para Lambda,
cuando tengo una matriz de 3 x 3 resuelvo

una ecuación cúbica y así sucesivamente,
cuando tengo una matriz de n x n resuelvo

una ecuación de un polinomio de grado n,
esto puede ser un tanto complicado si se

hace a mano, pero por suerte hay muchos
algoritmos numéricos eficientes que son

muy buenos para resolver en general 
ecuaciones con polinomios

ok, resolvamos entonces esta ecuación para
Lambda, en otras palabras vamos a hallar

el eigenvalor de la matriz original A,
resolviendo la ecuación característica que

está asociada con esa matriz; para 
resolver esto a mano, vamos simplemente a

tratar de aislar el término cuadrático 
para comenzar en ambos lados, luego a la

izquierda hago 3 - Lambda al cuadrado es 
igual a 1; me gusta deshacer la operación

de elevar al cuadrado así que entonces
fundamentalmente tomo la raíz cuadrada a

ambos lados y me quedo con 3 - Lambda 
igual, cuando tengo la raíz cuadrada pongo

símbolos de + y - 1 como el resultado; 
ahora quiero resolver Lambda, para hacer

eso agrego Lambda a ambos lados y luego
efectivamente resto a Lambda, resto el +-1

cuando resto los signos esencialmente se
modifican, pero me quedo con la misma

expresión al final, veamos Lambda es =,
cuando lo resolvemos a 3 +- 1, obtengo 2

soluciones, cuando sumo obtengo 3 + 1 es
por supuesto 4 y 3 - 1 es 2, entonces las

2 raíces de este polinomio característico
son 2 y 4; esos son los eigenvalores, los

2 asociados con esa matriz A

fijémonos que estos 2 eigenvalores, 2 y 4
están en consonancia con los eigenvalores

que mencioné hace unos momentos cuando
vimos esta matriz desde una perspectiva

geométrica a través de sus eigenvectores, 
dicho sea de paso los eigenvalores para

esa matriz son 2 y 4, aquí los calculamos
en forma directa y el paso siguiente será

hallar para cada eigenvalor el eigenvector
asociado con ellos