Hablamos recién acerca de cómo se puede calcular eigenvalores y eigenvectores dada
una matriz A; ok recordemos que si tenemos una matriz cuadrada A y eigenvectores y
eigenvalores asociados con esa matriz que satisfacen la ecuación que vemos, donde el
eigenvector v es distinto de 0 por definición, pero sin embargo tenemos
permitido y está bueno que nos demos cuenta, que el valor Lambda puede ser 0
si lo pensamos geométricamente, si Lambda es 0, eso no significa que la acción de
multiplicar ese eigenvector particular por la matriz A, a la izquierda resulta en
escalar el vector por 0, en otras palabras degeneramos el vector hacia el origen, a
un punto esencialmente; en cualquier caso v no puede ser 0, pero Lambda puede ser 0
este es un caso especial pero importante para las matrices
Veamos, esencialmente queremos resolver para v, entonces tenemos algunas
propiedades de los espacios vectoriales o propiedades algebraicas de las matrices,
las voy a usar en forma libre acá, son naturales, quiero resolver para v,
entonces junto todos los términos, esencialmente en un solo lado de la
ecuación, en otras palabras voy a restar Lambda v de ambos lados; en la izquierda
tengo Av - Lambda v y en el lado derecho tengo que ser cuidadoso, un vector - un
vector, resulta en el vector 0, pero el vector 0 es el 1er paso; efectivamente
quiero resolver para v acá, ustedes pueden notar que hay una propiedad distributiva
que es verdad para las matrices, en otras palabras puedo factorear el v en el lado
derecho, aislar el v en cierto modo, lo que queda, pongo el paréntesis acá y tengo
a v, lo que queda por factorear de v en el 1er término es simplemente A, luego - y
luego intento escribir el Lambda, pero debo ser cuidadoso acá, una matriz -
Lambda, que es un escalar no está definido entonces necesito esencialmente agregar un
espacio para la matriz que no es otra cosa que la matriz Identidad; A - Identidad por
Lambda, luego v es igual al vector 0 acá
Hay algo que se llama el Teorema Fundamental del Algebra Lineal y que
resuelve esta ecuación para Lambda es equivalente a resolver esta ecuación de
polinomios, el determinante que ya vimos de A - A x Lambda es igual a 0, el
determinante es un número que es igual a un escalar
Lo que va a suceder a la izquierda es lo que se llama el polinomio característico
que está asociado con esa matriz en particular y necesitamos resolver esa
ecuación de polinomios, vamos a resolver esa ecuación
en primer lugar, para Lambda, en otras palabras, si tenemos una matriz, lo 1ro
cuando usamos esta ecuación para resolver Lambda y en segundo lugar es inspeccionar
y encontrar el eigenvector que llamamos v y que está asociado con cada Lambda en
particular, hagamos eso ya mismo
entonces ahora vamos a calcular algunos eigenvalores y algunos eigenvectores para
la matriz A acá, vamos a usar el mismo ejemplo que antes, 3 1 1 3 y los pasos
esencialmente son 2 que siguen este orden dada una matriz cuadrada A de n x n, vamos
a resolver 1ro lo que llamamos la ecuación característica, vamos a resolver el
determinante que derivamos previamente, A - Lambda, tengo que calcular el Lambda a
la izquierda, esencialmente escalando la matriz identidad por Lambda, vamos a
resolver esta ecuación para Lambda, vamos a tener los valores de Lambda a mano,
luego por cada valor de Lambda vamos a encontrar los eigenvectores asociados
mediante inspección
Vamos 1ro a trabajar con esta expresión, qué es A - Lambda I, en términos de la
matriz dada? bueno A, vamos a usar un poco de cálculo de matrices, es 3 1 1 3 -
Lambda por la matriz Identidad de 2 dimensiones, que por definición es 1 0 0 1
ahora escalamos la matriz Identidad por Lambda, entonces distribuimos Lambda por
los componentes y me queda 3 1 1 3 - ahora Lambda 0 0 Lambda, escalamos la matriz por
Lambda; cómo hago para restar matrices o para sumarlas, para el caso es lo mismo,
lo hago componente por componente y mi matriz resultante al final es una de 2 x 2
3 - Lambda, es mi componente de arriba a la izquierda y luego me muevo y veo 1 - 0
que es 1, 1 - 0 es 1 y luego 3 - Lambda abajo a la derecha
Ahora queremos ver el determinante de esta matriz y asignar a ese resultado la
igualdad con 0; entonces recordemos que para calcular el determinante de una
matriz de 2 x 2 hacemos una suerte de producto cruzado, ad - bc, veamos que
sucede; digamos que el determinante de A - Lambda por Identidad, es el determinante
de esta matriz 3 - Lambda 1 1 3 - Lambda, ad - bc me da 3 - Lambda elevado al
cuadrado - 1 y decimos que esto es igual a 0; esta ecuación se llama la ecuación
característica que queda asociada a esa matriz A y a la izquierda tengo, como ya
dijimos antes un polinomio característico
para A; en orden de poder informar 1ro los eigenvalores para una matriz dada A, lo
que básicamente hacemos al final es resolver una ecuación polinomial, entonces
cuando tengo una matriz de 2 x 2, efectivamente voy a resolver una ecuación
de un polinomio cuadrático para Lambda, cuando tengo una matriz de 3 x 3 resuelvo
una ecuación cúbica y así sucesivamente, cuando tengo una matriz de n x n resuelvo
una ecuación de un polinomio de grado n, esto puede ser un tanto complicado si se
hace a mano, pero por suerte hay muchos algoritmos numéricos eficientes que son
muy buenos para resolver en general ecuaciones con polinomios
ok, resolvamos entonces esta ecuación para Lambda, en otras palabras vamos a hallar
el eigenvalor de la matriz original A, resolviendo la ecuación característica que
está asociada con esa matriz; para resolver esto a mano, vamos simplemente a
tratar de aislar el término cuadrático para comenzar en ambos lados, luego a la
izquierda hago 3 - Lambda al cuadrado es igual a 1; me gusta deshacer la operación
de elevar al cuadrado así que entonces fundamentalmente tomo la raíz cuadrada a
ambos lados y me quedo con 3 - Lambda igual, cuando tengo la raíz cuadrada pongo
símbolos de + y - 1 como el resultado; ahora quiero resolver Lambda, para hacer
eso agrego Lambda a ambos lados y luego efectivamente resto a Lambda, resto el +-1
cuando resto los signos esencialmente se modifican, pero me quedo con la misma
expresión al final, veamos Lambda es =, cuando lo resolvemos a 3 +- 1, obtengo 2
soluciones, cuando sumo obtengo 3 + 1 es por supuesto 4 y 3 - 1 es 2, entonces las
2 raíces de este polinomio característico son 2 y 4; esos son los eigenvalores, los
2 asociados con esa matriz A
fijémonos que estos 2 eigenvalores, 2 y 4 están en consonancia con los eigenvalores
que mencioné hace unos momentos cuando vimos esta matriz desde una perspectiva
geométrica a través de sus eigenvectores, dicho sea de paso los eigenvalores para
esa matriz son 2 y 4, aquí los calculamos en forma directa y el paso siguiente será
hallar para cada eigenvalor el eigenvector asociado con ellos