Si tengo una matriz cuadrada A, un eigenvector asociado con esa matriz es un
vector, que cuando multiplico el vector x A, el efecto de la multiplicación es que
ese eigenvector escala, cuando escalamos el valor, se denomina eigenvalor; dada una
matriz cuadrada A, un eigenvector llamado v
que está asociado con esa matriz es un vector que cuando lo multiplico a la
izquierda por la matriz A, el efecto de esa multiplicación es que ese eigenvector
escala por este valor lambda, que es el eigenvalor, que está asociado con el
eigenvector; una vez más; la idea central detrás de los eigenvalores y los
eigenvectores es que dada una matriz A, una matriz cuadrada, un eigenvector
asociado con esa matriz es un vector que cuando lo multiplico por A a la izquierda
el efecto de esa multiplicación es que escala el eigenvector por el
correspondiente eigenvalor
el eigenvector v por definición no es el vector 0; supongamos que tenemos esta
linda matriz de dimensiones pequeñas 3 1 1 3, ahora quiero tomar esa matriz y
vamos a definir un vector, un eigenvector, un vector 1 1
cuál es el resultado de multiplicar A a la izquierda por v, multiplico la matriz 3 1
1 3 por el vector 1 1; noten que esta multiplicación de matrices está definida
por un vector que puede ser considerado como una matriz degenerada o una matriz de
1 dimensión, cuando realizo la multiplicación de matrices, el producto
cruzado, 3 1 por 1 1, resulta en 4, 1 3 de forma similar multiplicado por 1 1 resulta
en 4, pero qué es lo que tenemos acá? tenemos Av mi matriz por este vector, la
acción de esa multiplicación en un sentido geométrico es la de escalar el vector
original v por el valor de 4, entonces Av, en otras palabras, acá es igual a Lambda
donde Lamdba es 4, un factor que permite escalar y que surge de la matriz; la base
es que obtener un eigenvector cuando multiplico a la izquierda por la matriz,
la acción de esa multiplicación resulta en que el eigenvector escala por el valor de
4
me gustaría traer un poco más de luz sobre la idea de eigenvalores y eigenvectores
desde una perspectiva geométrica; vamos a continuar con el ejemplo de la matriz de 2
x 2, 3 1 1 3, y si recuerdan del ejemplo que vimos más temprano, 1 de los
eigenvectores asociado con esa matriz, lo llamamos vector v1, es el vector 1 1, lo
dibujé en el plano y el resultado de la acción de multiplicar el vector v1 a la
izquierda por la matriz A que mencionamos aquí es el efecto de estirar o achicar el
vector, es el Lambda que está asociado con ese eigenvector, podemos pensarlo en forma
geométrica acá, Av1 resulta en 4 por v1, acá tenemos una interpretación geométrica
muy linda, de lo que significa un eigenvalor y un eigenvector para una
matriz; dije también más temprano que esta matriz en particular, como es común en
muchas matrices, tiene otros eigenvectores asociados con ella y les voy a mostrar
como calcularlos dentro de 1 momento, pero uno de los otros eigenvectores que
está asociado con esa matriz en particular lo llamamos vector v2, es el vector que
dibujé acá, -1 1, y el eigenvalor asociado con ese eigenvector en particular es el
valor 2, en otras palabras Lambda es 2 para este eigenvector en particular, el
resultado entonces de multiplicar
el vector v2 a la izquierda por la matriz A es de donde obtengo esta versión que
escala del doble, es el doble del vector original