.
إذا أُعطيت مصفوفة مربعة 'A'
شعاع ذاتي مترافق مع تلك المصفوفة هو شعاع
بحيث عندما أضرب الشعاع بـ 'A'
فإنّ تأثير عملية الضرب هو قياس
للشعاع الذاتي ذاك
وتدعى قيمة القياس القيمة الذاتية
إذاً، إذا أعطيت مصفوفة مربعة 'A'
شعاع ذاتي، سندعوها 'v'
مترافقة مع تلك المصفوفة
وهو شعاع ، بحيث عندما أضربها في اليسار
ب المصفوفة 'A'
فإنّ تأثير عملية الضرب تلك هو قياس
للشعاع الذاتي مضروباً بهذه القيمة 'لامدا'
والتي هي القيمة الذاتية مترافقة
مع الشعاع الذاتي ذاك
إذاً، مرة أخرى،
الفكرة الكاملة وراء الأشعة والقيم الذاتية
هي أنّه، بالنظر إلى مصفوفة 'A'
شعاع ذاتي مترافق مع تلك المصفوفة
هو شعاع وبالمثل فإنّه عندما أضرب
بـ 'A' على اليسار،
تأثير عملية الضرب هو قياس
الشعاع بقيمته الشعاعية الموافقة،
حسب تعريف الشعاع الذاتي 'v' فإنّه ليس الشعاع المنعدم.
دعونا نفترض أنّنا لدينا مصفوفة دقيقة
نجعل الأشياء هنا صغيرة في البعد
دعونا نقول 3 مضروبة بـ 1 و1 مضروبة بـ 3
الآن، أريد أن آخذ تلك المصفوفة
وسنحدد شعاع،
سيتبيّن أنّ هذا سيكون شعاع ذاتي
كما سنرى خلال لحظة.
دعونا نقول شعاع (1،1)
إذاً ماهي نتيجة عملية الضرب هنا؟
'A' على اليسار في 'v'
إذاً ضرب المصفوفة [(3،1) (1،3)]
في الشعاع (1،1)
لاحظ أنّ ضرب هذه المصفوفة محدد مجدداً،
شعاع يمكن أن يُعتبر كشيئاً ما
لمصفوفة متحللة أو ذات بُعد واحد.
إذاً عندما أقوم بضرب المصفوفة
حاصل الجداء الداخلي هنا (3،1) ضرب (1،1)
النتيجة هي 4
الجداء الداخلي لـ (1،3) بشكلٍ مشابه مع (1،1)
النتيجة هي 4
إذاً ماذا لدينا هنا؟
لدينا Av، مصفوفتي في هذا الشعاع.
حسناً، تأثير عملية الضرب تلك
بمعنى هندسي
هو قياس للشعاع الأصلي 'v'
بقيمة 4
إذاً، بعبارة أخرى Av هنا مساوي
لـ لامدا، حيث لامدا تساوي 4، عامل القياس خاصتي
في المصفوفة الأصلية.
إذاً، النتيجة هي أنّه ليكون شعاع ذاتي،
عندما أضرب على اليسار بمصفوفتي،
ينتج تأثير عملية الضرب هذا
قياس الشعاع الذاتي خاصتي
في هذه الحالة بالقيمة 4.
أود الآن أن ألقي الضوء قليلاً على
فكرة القيم والأشعة الذاتية هذه
من منظور هندسي
إذاً، سنستمر مع المثال
حيث دعونا المصفوفة 'A'
هذه مصفوفة 2 بـ 2 [(3،1) (1،3)]
وكما تتذكر من المثال السابق
أحد الأشعة الذاتية مترافق
مع تلك المصفوفة
سندعو ذلك الشعاع v_1
بالشعاع (1،1)
إذاً، لقد رسمت ذلك الآن على المستوي
وعندئذٍ تأثير نتيجة
عملية ضرب الشعاع v_1 على اليسار
بالمصفوفة المذكورة آنفاً 'A' هنا
كان هذا يتمدد أو يقاس بعامل 4 هنا
ولقد كانت هذه لامدا مترافقة مع
الشعاع الذاتي ذلك
إذاً، يمكننا أن نفكر بهذا هندسياً هنا
'Av_1' تنتج 4 في v_1
حسناً، إذاً هناك نوع دقيق من الرسم الهندسي
لما يعنيه أن يكون قيمة ذاتية
وشعاع ذاتي لمصفوفة.
كما قلت سابقاً أيضاً
هذه المصفوفة المعينة، كما هو شائع
مع الكثير من المصفوفات
لديها أشعة ذاتية أخرى مترافقة معها.
وسأريكم كيف تحسبوا بعضاً من هؤلاء
الأشياء خلال لحظة، هنا.
لكن أحد الأشعة الذاتية الأخرى
مترافق مع تلك المصفوفة المعينة.
سندعو ذلك الشعاع v_2
الشعاع كما رسمته هنا (-1،1)
والقيمة الذاتية مترافقة مع الشعاع الذاتي
ذلك، هي القيمة 2.
إذاً، بعبارة أخرى، لامدا هي 2
لهذا الشعاع الذاتي المعين
إذاً، نتيجة عملية ضرب
فلنقل، الشعاع v_2 على اليسار
باالمصفوفة A عندئذٍ،
هي أنني أحصل على النسخة المصغرة هذه
بعبارة أخرى، مضروبة مرتين بالشعاع الأصلي هنا.