Ya Vimos las fórmulas para calcular tanto
el determinante de una matriz de 2 x 2

como de una de 3 x 3, quiero también 
mostrar que esa fórmula, otra vez se puede

generalizar para matrices de dimensiones
más grandes; por ejemplo en el pizarrón yo

dibujé acá la fórmula para el cálculo de
una matriz de 4 x 4, sólo para que

recuerden, podemos expandir cualquier
renglón o columna, escribí la fórmula en

relación a la expansión del 1er renglón,
si seguimos el patrón general, extraigo el

componente a11 y en forma subsecuente
multiplico por el determinante de la

matriz de 3 x 3 correspondiente que 
obtengo de eliminar el renglón 1 y la

columna 1 de la matriz original, luego
continuo alternando los signos, va - acá,

-a12 x el determinante de la submatriz
correspondiente y así sucesivamente y como

pueden ver acá, el cálculo del 
determinante 4 x 4 involucra

fundamentalmente el cálculo de diversos
determinantes de 3 x 3; por esa razón los

determinantes son complicados de calcular
sin embargo hay algunas propiedades muy

convenientes y fórmulas para los 
determinantes que hacen que la tarea de

calcular determinantes grandes sean mucho
más sencilla; por ejemplo si tenemos una

matriz diagonal, recordarán que una matriz
diagonal es una matriz cuya diagonal

externa, sus componentes, son 0, este 
sería una linda matriz diagonal de 4 x 4

el cálculo de una matriz diagonal, otra 
vez puedo expandirme por cualquier renglón

o columna, si por ejemplo me expando por
el 1er renglón, tengo el número 1, todo lo

demás será 0, multiplicado por el 
determinante de la submatriz, bueno, puedo

expandirme, digamos, por el renglón 1 para
esa submatriz, obtengo 2 y así

sucesivamente y aplicando el procedimiento
de inducción matemática uno puede probar

que el determinante de cualquier matriz
diagonal es igual al producto de los

elementos de la diagonal; acá tenemos un
cálculo lindo y simple, aún cuando estemos

frente a una matriz de grandes dimensiones
obtuve 24

Debido a que el determinante de esa matriz
particular era diferente de 0, eso indica

que la matriz es invertible, hay alguna
matriz de 4 x 4 a la que puedo multiplicar

y obtener la matriz identidad como 
resultado de esa multiplicación

sólo para que lo veamos en forma más
explícita, recordemos con este ejemplo,

que una matriz de 2 x 2, por ejemplo la
matriz 1 2 3 4 y sólo para recordarles que

el cálculo de una matriz de 2 x 2 incluye
la multiplicación cruzada, ad - bc

entonces el determinante de esta matriz
particular, pongamos las líneas verticales

para escribirlo en forma apropiada, es 4 -
6 o -2; ese valor de determinante debido a

que no es 0 determina la invertibilidad de
la matriz A, en otras palabras A es

invertible, yo les mostré anteriormente 
que la inversa de A de hecho se ve de la

siguiente forma, es la matriz de 2 x 2, -2
1 3/2 -1/2 en el 2do renglón

Las propiedades de los determinantes

son muchas, pero acá voy a mencionar 2 de
las más prominentes; la nro 1, si tomamos

el determinante de una matriz transpuesta
les recuerdo que la transposición de una

matriz incluye cambiar los renglones y las
columnas; si cambio los renglones y las

columnas de una matriz y aplico lo que se
llama el Teorema de la Expansión de

Laplace, expande, cuando calculo el
determinante sobre cualquier renglón o

columna, si cambio los renglones y las
columnas no va a haber ninguna diferencia

puedo expandirme a lo largo de cualquier
renglón o columna, voy a obtener la misma

calidad que hubiera obtenido si no hubiera
tomado la transpuesta, cambiando los

renglones y las columnas no tiene ningún
efecto en el determinante; la 2da

propiedad extraordinaria y muy útil para
cálculo de determinantes es un tipo de

propiedad que es una especie de sorpresa 
en algún sentido; el determinante del

producto de 2 matrices es igual al 
producto de los determinantes de esas 2

matrices en forma respectiva, en otras
palabras el determinante de A x B es = al

determinante de A x el determinante de B;
les quiero recordar, tomemos nota, como ya

les dije que la multiplicación de matrices
en general no es conmutativa, en otras

palabras AB no es, en general, igual a BA
sin embargo cuando aplico el determinante

a un producto, obtengo una linda propiedad
conmutativa