Vamos a calcular el determinante usando la fórmula que usamos previamente de una
matriz de 3 x 3; acá tengo mi matriz A, digamos y, otra vez, tengo permitido
expandirme a lo largo de cualquier renglón o columna y voy a obtener el mismo
resultado cuando calculo el determinante y en conclusión, dependiendo de si el valor
es 0 o no eso me dirá si la matriz original es invertible. Voy a usar esta
fórmula general que escribimos acá para los determinantes, expandiéndome por el
1er renglón, tomo el nro 5 y lo multiplico por el determinante de la
submatriz correspondiente, que en este caso es 0 2 -1 3, menos, miremos este
menos menos, va +3, lo cambio, remuevo otra vez el renglón 1 y la columna 2 y
enchufo el determinante acá 1 2 2 3 de la submatriz correspondiente y por último
enchufo el 2 y lo multiplico por la submatriz correspondiente 1 0 2 -1, acá
está mi fórmula para el determinante y otra vez, este es un recordatorio amigable
el determinante de una matriz de 2 x 2 es esta suerte de producto cruzado ad - bc,
hagámoslo acá, tenemos 5 ad - bc, esto es 0 - - 2 es + 2, entonces es 5
por 2 + 3 por ad que es 3 - 4 es -1 y por último +2 ad - bc es -1, acá lo
tenemos y si sumamos estos números tenemos 10 - 3 - 2 lo que da como resultado a 5
esto significa que mi matriz original A es invertible, tiene que haber alguna matriz
por ahí que puedo encontrar y que al multiplicarla por esa matriz inversa tiene
que producir la matriz identidad
vamos ahora a expandir la columna 2 acá y vamos a calcular el determinante de este
modo, que ya vimos y en donde obtendremos 5 también, con un poco menos de trabajo
debido a que está este 0 acá, quiero que tomen nota de los signos, les voy a
recordar que para el determinante tenemos un negativo, un positivo y un negativo,
alternamos los signos; vamos a calcular el determinante de A una vez más, expandiendo
la columna 2 esta vez, ok tengo negativo y negativo de 3, que es 3 positivo por el
determinante de la submatriz, es igual a lo que ya hicimos, 1 2 2 3, ok alterno
los signos + 0, voy a dejar este espacio acá para que lo puedan ver, más 0 esto va
de esta manera, pero la submatriz que se asocia con 0, cuando remuevo ahora la
columna 2 y el renglón 2 va a ser 5 2 2 3 esto se va, y entonces tengo menos menos
más 1, cuando alterno los signos y lo multiplico por el determinante de la
submatriz que se corresponde con el -1, voy a remover el renglón 3 y la columna 2
y eso me deja con 5 2 1 2, calculemos ese determinante; uso la fórmula para un
determinante de 2 x 2 ad - bc , entonces 3 por 1 por 3 - 4 es -1 más 0 y más 1 por 10
menos 2 va a ser 8, entonces lo que obtengo cuando lo resuelvo es -3 +8,
seguro da 5; el punto es que el determinante puede ser obtenido
expandiendo cualquier renglón o columna y obtendremos un resultado consistente