cuando defino un vector en un espacio
vectorial, no necesariamente tengo que

estar atrapado e instanciar esos vectores 
en el espacio como flechas en un plano o

en un espacio 3D o lo que sea; puedo 
pensar en ellos en una forma más abstracta

en un ejemplo de un espacio vectorial
abstracto; es algo que puedo definir como

el espacio de todos los polinomios de 
grado igual o menor a n; ok vamos a

explorar esto aquí; estos son todos los
polinomios de grado menor o igual a n;

sólo para que recuerden, un polinomio es
una suma de potencias de X, que tienen

coeficientes constantes en el frente

por ejemplo, consideremos P3, P3 será el
espacio vectorial de todos los polinomios

de grado menor o igual que n, en otras
palabras todos los polinomios cúbicos o

menores; digamos todos los polis de grado
menor o igual que 3; los vectores, los

elementos en el espacio vectorial son 
ellos mismos polinomios y nuestro conjunto

escalar es, dicho sea de paso, es todavía
el conjunto de los Reales; ok si miro a

los polinomios, este es un cuadrático, X
cuadrado más 1 este es un elemento de este

espacio vectorial P3, si cumple con la 
regla, es un polinomio de grado menor o

igual a 3; pueden notar también que en
términos axiomáticos, bueno este espacio

vectorial ¿dónde tiene al vector 0? el 
vector 0 es simplemente el polinomio 0, en

otras palabras es la constante 0, entonces
0 es un elemento de este espacio vectorial

P3 y también podemos notar que un 
polinomio de grado 0, si no lo saben es

una constante, entonces puedo numerarlo y
decir los 3 primeros polinomios son el

resultado de la función lineal y así
sucesivamente; podemos ver a los 10

axiomas del espacio vectorial se cumplen 
en P3, en todos los polinomios de grado 3

o menor en forma más general en Pn, todos
los polinomios de grado n o menor

Esto es bastante diferente del espacio
euclidiano del grado o de dimensiones n +

1; lo que se debe leer acá es es esa 
notación que se llama "isomórfica",

entonces podemos decir que estos 2 
espacios vectoriales son isomórficos,

isomórfico significa que, iso quiere decir
igual estructura, ok, la misma forma, el

mismo tipo, estos 2 son 1 y el mismo
espacio vectorial, por ejemplo, si tengo

un polinomio de grado n, si lo pensamos,
un polinomio de grado n tiene un término

constante, un término lineal, un término
cuadrático, etc. todo hasta el grado n,

que es el coeficiente asociado con X hasta
n; si contamos todos los espacios que

puedo llenar como un vector, entonces 
tengo n + 1 espacios para llenar, no es

diferente en estructura que el espacio
euclidiano con dimensiones de n + 1, lo

podemos decir en forma más directa, para
P3 entonces un vector,que simplemente

significa un polinomio en este caso, un
vector en P3 tiene, cuántos espacios tiene

para llenar? a, b, c y d, un término 
constante, el término lineal, el término

cuadrático y el término cúbico, como ya
dijimos; en otras palabras, cuando sumo

polinomios en forma conjunta, lo que hago
es fundamentalmente, sumar los

coeficientes que no es diferente de sumar
vectores y así sucesivamente; donde en

verdad se pone interesante y donde en 
verdad tendremos una idea del poder real

del espacio vectorial como representación
de sistemas, aquí en las matemáticas, es

cuando hablamos, el grande aquí, es el
espacio vectorial de todas las funciones

de valor real; esto es muy diferente de 
los ejemplos previos de los espacios

vectoriales; estos espacios vectoriales 
que vimos previamente, polinomios y

espacios euclidianos son denominados 
espacios vectoriales finitos; esta es

nuestra primera instancia de un espacio
vectorial de dimensión infinita; sólo para

darles un ejemplo; cualquier función que
uno usa en cálculo que toma un valor real

como entrada y nos devuelve un valor real
como salida será transformada en una

función de valor real; entonces ahora 
puedo hablar no sólamente de polinomios,

dicho sea de paso, los polinomios son en
verdad un subconjunto de estas funciones,

pero algo como una función exponencial o
una combinación algebraica de funciones

exponenciales y trigonométricas que en
conjunto

será una función de valor real; llamemos a
este espacio vectorial V, sólo para estar

seguros, consideremoslo ahora un vector, 
si asigno esta igualdad a V, es un vector

en el espacio vectorial de todas las 
funciones de valores reales; es una noción

muy poderosa; es muy beneficioso si uno
chequea que los 10 axiomas del espacio

vectorial se mantienen y de hecho lo hacen
por ejemplo cual es el vector 0 en el

espacio vectorial de todas las funciones 
de valores reales; esa será la función 0,

la constante función 0; para quedar 
encerrados podemos sumar una función de

valor real a otra y aún me mantengo dentro
de los valores reales; si lo hago aún me

mantengo con las funciones de valores 
reales, la asociatividad, la

conmutatividad y todas las demás 
propiedades algebraicas que se mantienen

aquí