cuando defino un vector en un espacio vectorial, no necesariamente tengo que
estar atrapado e instanciar esos vectores en el espacio como flechas en un plano o
en un espacio 3D o lo que sea; puedo pensar en ellos en una forma más abstracta
en un ejemplo de un espacio vectorial abstracto; es algo que puedo definir como
el espacio de todos los polinomios de grado igual o menor a n; ok vamos a
explorar esto aquí; estos son todos los polinomios de grado menor o igual a n;
sólo para que recuerden, un polinomio es una suma de potencias de X, que tienen
coeficientes constantes en el frente
por ejemplo, consideremos P3, P3 será el espacio vectorial de todos los polinomios
de grado menor o igual que n, en otras palabras todos los polinomios cúbicos o
menores; digamos todos los polis de grado menor o igual que 3; los vectores, los
elementos en el espacio vectorial son ellos mismos polinomios y nuestro conjunto
escalar es, dicho sea de paso, es todavía el conjunto de los Reales; ok si miro a
los polinomios, este es un cuadrático, X cuadrado más 1 este es un elemento de este
espacio vectorial P3, si cumple con la regla, es un polinomio de grado menor o
igual a 3; pueden notar también que en términos axiomáticos, bueno este espacio
vectorial ¿dónde tiene al vector 0? el vector 0 es simplemente el polinomio 0, en
otras palabras es la constante 0, entonces 0 es un elemento de este espacio vectorial
P3 y también podemos notar que un polinomio de grado 0, si no lo saben es
una constante, entonces puedo numerarlo y decir los 3 primeros polinomios son el
resultado de la función lineal y así sucesivamente; podemos ver a los 10
axiomas del espacio vectorial se cumplen en P3, en todos los polinomios de grado 3
o menor en forma más general en Pn, todos los polinomios de grado n o menor
Esto es bastante diferente del espacio euclidiano del grado o de dimensiones n +
1; lo que se debe leer acá es es esa notación que se llama "isomórfica",
entonces podemos decir que estos 2 espacios vectoriales son isomórficos,
isomórfico significa que, iso quiere decir igual estructura, ok, la misma forma, el
mismo tipo, estos 2 son 1 y el mismo espacio vectorial, por ejemplo, si tengo
un polinomio de grado n, si lo pensamos, un polinomio de grado n tiene un término
constante, un término lineal, un término cuadrático, etc. todo hasta el grado n,
que es el coeficiente asociado con X hasta n; si contamos todos los espacios que
puedo llenar como un vector, entonces tengo n + 1 espacios para llenar, no es
diferente en estructura que el espacio euclidiano con dimensiones de n + 1, lo
podemos decir en forma más directa, para P3 entonces un vector,que simplemente
significa un polinomio en este caso, un vector en P3 tiene, cuántos espacios tiene
para llenar? a, b, c y d, un término constante, el término lineal, el término
cuadrático y el término cúbico, como ya dijimos; en otras palabras, cuando sumo
polinomios en forma conjunta, lo que hago es fundamentalmente, sumar los
coeficientes que no es diferente de sumar vectores y así sucesivamente; donde en
verdad se pone interesante y donde en verdad tendremos una idea del poder real
del espacio vectorial como representación de sistemas, aquí en las matemáticas, es
cuando hablamos, el grande aquí, es el espacio vectorial de todas las funciones
de valor real; esto es muy diferente de los ejemplos previos de los espacios
vectoriales; estos espacios vectoriales que vimos previamente, polinomios y
espacios euclidianos son denominados espacios vectoriales finitos; esta es
nuestra primera instancia de un espacio vectorial de dimensión infinita; sólo para
darles un ejemplo; cualquier función que uno usa en cálculo que toma un valor real
como entrada y nos devuelve un valor real como salida será transformada en una
función de valor real; entonces ahora puedo hablar no sólamente de polinomios,
dicho sea de paso, los polinomios son en verdad un subconjunto de estas funciones,
pero algo como una función exponencial o una combinación algebraica de funciones
exponenciales y trigonométricas que en conjunto
será una función de valor real; llamemos a este espacio vectorial V, sólo para estar
seguros, consideremoslo ahora un vector, si asigno esta igualdad a V, es un vector
en el espacio vectorial de todas las funciones de valores reales; es una noción
muy poderosa; es muy beneficioso si uno chequea que los 10 axiomas del espacio
vectorial se mantienen y de hecho lo hacen por ejemplo cual es el vector 0 en el
espacio vectorial de todas las funciones de valores reales; esa será la función 0,
la constante función 0; para quedar encerrados podemos sumar una función de
valor real a otra y aún me mantengo dentro de los valores reales; si lo hago aún me
mantengo con las funciones de valores reales, la asociatividad, la
conmutatividad y todas las demás propiedades algebraicas que se mantienen
aquí