Un espacio vectorial consiste en 2 conjuntos de objetos, un conjunto de
vectores, así podemos pensar en el vector V, el vector V es sólo un objeto con una
dirección y una longitud, como podría ser magnitud y dirección también, podemos
pensar en un vector de 2 dimensiones, el conjunto de todos estos vectores y otro
conjunto de objetos aquí que es conocido como el conjunto de los escalares para el
espacio vectorial y típicamente pensamos en nuestro conjunto escalar como el de los
Reales, así un elemento individual, de este conjunto escalar podría ser C, alguna
clase de constante; lo que queremos hacer para formar un espacio vectorial es
conectar mediante operaciones que ya vimos estos 2 conjuntos de cosas; podemos
definir, en algún sentido, algunas operaciones de vectores y sólo para que lo
recuerden, veamos las 2 primeras, para hacer todo esto bien elemental, definimos
la multiplicación escalar, veamos que previamente hay una parte algebraica y
geométrica de la multiplicación escalar y como interpretarla, podemos escalar un
vector; hay formas de conectar estos 2 conjuntos en una forma matemática y luego
cómo puedo conectar los elementos del conjunto de vectores; bueno una forma
linda es utilizando la suma de vectores y que ya vimos, otra vez, la interpretación
matemática y geométrica de la suma de vectores; para introducir estas 2
operaciones para un espacio vectorial y que nos permite movernos entre estos 2
dominios
un ejemplo de un espacio vectorial y vamos a ver algunos ejemplos; uno muy común es
R^2, para R^2 mi conjunto de vectores consiste de flechas de 2 dimensiones en el
plano y mi conjunto de escalares es el conjunto de los Reales; en el plano puedo
dibujar vectores de 2 dimensiones y puedo escalar esos vectores con los números
Reales, que ya hemos discutido antes, y puedo sumar esos 2 vectores y por qué no?
en forma similar R^3 es también un espacio vectorial, en este caso es un vector de 3
dimensiones de un espacio vectorial y en este caso, extendemos la noción a 1
dimensión más, nuestro vector consiste en flechas de 3 dimensiones en el espacio de
3 y los escalares son, otra vez, el conjunto de los escalares es por
convención, el conjunto de todos los Reales; en forma más general si tengo un
espacio vectorial de n dimensiones, puedo decir R^n o el producto cartesiano n de R
es un espacio vectorial de n dimensiones y esto es llamado a veces un espacio
vectorial canónico que uno se encuentra en matemática y en matemáticas aplicadas, se
lo denomina espacio vectorial euclidiano o espacio euclidiano en forma más típica
podemos referirnos a este espacio como R^2 o R^3 o R^n si agregamos a ello el
producto interno o el producto escalar, uno obtiene un espacio euclidiano con
ángulos y normas, en otras palabras longitudes de vectores como se puede ver
en forma intuitiva