Otro tipo muy común de matrices que asoma
su cabeza en el campo de la matemática

aplicada es una que se llama matriz 
sesgada simétrica, por definición es una

matriz cuya transpuesta es igual a a la
negativa de la matriz original; en otras

palabras si cambio los renglones y las
columnas de A, eso produce el negativo de

la matriz original; por ejemplo sólo para
que tengamos una muestra concreta, podemos

considerar la matriz, digamos A es igual a
0 -1 1 0; si tomo la transpuesta de A,

tomo el renglón 1, por ejemplo y formo la
columna 1 con él, esto se transforma en 0

-1 , con el renglón 2 formo la columna 2 y
allá vamos A transpuesta es, por supuesto,

el negativo de la matriz original, es una
matriz sesgada simétrica

cuando tomo la transpuesta, los elementos
de la diagonal principal no se mueven

esa es la principal razón por la cual la
diagonal principal es 0 para matrices

sesgadas simétricas; otra matriz muy 
popular que podemos colocar aquí junto a

las matrices sesgadas simétricas es que si
tengo 2 matrices sesgadas simétricas, por

ejemplo A es sesgada simétrica, B es 
sesgada simétrica y si las sumo

esa suma es también sesgada y simétrica

Si asumimos que A es sesgada y simétrica, 
por definición su transpuesta es el

negativo de A y la transpuesta de B es el
negativo de B porque B también es sesgada

y simétrica; A + B, cómo puedo probar si
son sesgadas y simétricas? puedo tomar la

transpuesta de la nueva matriz, pero las
propiedades de la transpuesta que ya vimos

la transpuesta, esencialmente, aplica una
distribución en forma lineal a través de

una suma; en otras palabras A + B 
transpuesta es igual a A transpuesta + B

transpuesta y por definición de las 
sesgadas simétricas A transpuesta es igual

a -A y la transpuesta de B es igual a -B,
si hago factoreo con -1, lo cual puedo

hacer por las propiedades de las matrices
aquí obtengo todas estas igualdades y al

final A + B transpuestas es igual al 
negativo de A + B; A + B es sesgada y

simétrica cuando ambas, A y B son sesgadas
y simétricas respectivamente

Para concluir nuestra investigación sobre
los tipos esenciales de matrices, hay 1

que hemos mencionado, que es la matriz
dispersa, una matriz dispersa es, como su

nombre lo indica, tiene sus datos 
dispersos, en otras palabras una matriz

dispersa contiene muchos 0; como pueden
imaginar es deseable trabajar en una

aplicación con una matriz dispersa o con
muchas matrices dispersas como podría ser

el caso, porque mientras más 0 tengamos,
menos trabajo o menos computación vamos a

tener que aplicar para resolver el 
problema, esa es la idea de la matriz

dispersa; los otros tipos de matrices que
quiero mencionar aquí; hay algo que se

llama matriz idempotente, una matriz
idempotente

es una matriz que podemos llamar A, tal 
que cuando la elevo al cuadrado obtengo la

misma matriz, A al cuadrado es igual a A,
ustedes pueden encontrar matrices

idempotentes, que son muy comunes, en
regresión lineal, como ya lo mencioné,

cuando uno resuelve el famoso problema de
los mínimos cuadrados de la regresión,

minimizar los cuadrados mínimos, muchas
veces nos encontramos con matrices

idempotentes al hacer esos cálculos, entre
otros lugares; veamos un ejemplo rápido de

una matriz idempotente, la matriz 1 1 0 0
podemos pensar que es A, si la elevo al

cuadrado, veamos qué resultado nos da
luego de hacer la multiplicación de

matrices; una vez más realizamos una 
secuencia de productos escalares, entonces

1 1 multiplicado por 1 0, resulta en 1; 1
1 multiplicado por 1 0, otra vez nos da 1

y cuando tomo el 2do renglón en la matriz
de la izquierda 0 0 multiplicado resulta

en 0, entonces sí podemos estar seguros
hemos elevado al cuadrado y nos dio igual

a A para esa matriz en particular, por lo
tanto A es una matriz idempotente

Otro tipo de matrices que quiero mencionar
aquí es algo que se llama matriz

nilpotente; una matriz nilpotente

la palabra nil les debe recordar que es 
algo relacionado con 0; entonces una

matriz nilpotente es cualquier matriz que
cuando la elevo a cualquier potencia, lo

que obtengo es una matriz de 0 o donde M
es más grande o igual a 1; veamos un

ejemplo de una matriz nilpotente, por
ejemplo A 0 1 0 0; veamos que sucede

cuando elevamos al cuadrado a esta matriz
vamos a tratar de hacerlo 0 1 0 0; por sí

misma, por 0 1 0 0, otra vez tengo que
hacer una secuencia de productos escalares

para la multiplicación de matrices y el
resultado acá va a ser 0 1 multiplicado

por la columna 0 es 0; 0 1 multiplicado 
por la 2da columna es 0 y me muevo al 0

todos 0, obtengo 0; entonces de hecho, en
esta matriz particular 0 1 0 0 es una

matriz nilpotente

Esto nos muestra una idea esencial en
álgebra lineal donde el álgebra es muy

diferente de las ecuaciones algebraicas 
que son usadas; en otras palabras, qué

pasa aquí? cuando mutliplico una matriz A
por sí misma y obtengo 0, pero esa matriz

no es 0 en sí misma, en otras palabras 
tengo A x A igual a 0 y esto me suena

familiar con algo que en álgebra básica; 
si tengo Números Reales, digamos a x b y

al multiplicarlos obtengo 0, puedo usar 
algo que se llama el producto principal 0

para deducir que o bien a = 0 ó b = 0, más
importante ese producto principal 0 falla

cuando se trata de matrices del álgebra
lineal, tenemos un contra ejemplo aquí a

la mano, cuando multiplico A x A, ninguna
matriz es la matriz 0, pero sin embargo su

producto resulta en la matriz 0; lo que 
esto quiere decir es que el producto

principal 0 falla en general en el álgebra
lineal de matrices; esto hace que sea un

poco más complicado, en otras palabras,
resolver las ecuaciones de las matrices