Otro tipo muy común de matrices que asoma su cabeza en el campo de la matemática
aplicada es una que se llama matriz sesgada simétrica, por definición es una
matriz cuya transpuesta es igual a a la negativa de la matriz original; en otras
palabras si cambio los renglones y las columnas de A, eso produce el negativo de
la matriz original; por ejemplo sólo para que tengamos una muestra concreta, podemos
considerar la matriz, digamos A es igual a 0 -1 1 0; si tomo la transpuesta de A,
tomo el renglón 1, por ejemplo y formo la columna 1 con él, esto se transforma en 0
-1 , con el renglón 2 formo la columna 2 y allá vamos A transpuesta es, por supuesto,
el negativo de la matriz original, es una matriz sesgada simétrica
cuando tomo la transpuesta, los elementos de la diagonal principal no se mueven
esa es la principal razón por la cual la diagonal principal es 0 para matrices
sesgadas simétricas; otra matriz muy popular que podemos colocar aquí junto a
las matrices sesgadas simétricas es que si tengo 2 matrices sesgadas simétricas, por
ejemplo A es sesgada simétrica, B es sesgada simétrica y si las sumo
esa suma es también sesgada y simétrica
Si asumimos que A es sesgada y simétrica, por definición su transpuesta es el
negativo de A y la transpuesta de B es el negativo de B porque B también es sesgada
y simétrica; A + B, cómo puedo probar si son sesgadas y simétricas? puedo tomar la
transpuesta de la nueva matriz, pero las propiedades de la transpuesta que ya vimos
la transpuesta, esencialmente, aplica una distribución en forma lineal a través de
una suma; en otras palabras A + B transpuesta es igual a A transpuesta + B
transpuesta y por definición de las sesgadas simétricas A transpuesta es igual
a -A y la transpuesta de B es igual a -B, si hago factoreo con -1, lo cual puedo
hacer por las propiedades de las matrices aquí obtengo todas estas igualdades y al
final A + B transpuestas es igual al negativo de A + B; A + B es sesgada y
simétrica cuando ambas, A y B son sesgadas y simétricas respectivamente
Para concluir nuestra investigación sobre los tipos esenciales de matrices, hay 1
que hemos mencionado, que es la matriz dispersa, una matriz dispersa es, como su
nombre lo indica, tiene sus datos dispersos, en otras palabras una matriz
dispersa contiene muchos 0; como pueden imaginar es deseable trabajar en una
aplicación con una matriz dispersa o con muchas matrices dispersas como podría ser
el caso, porque mientras más 0 tengamos, menos trabajo o menos computación vamos a
tener que aplicar para resolver el problema, esa es la idea de la matriz
dispersa; los otros tipos de matrices que quiero mencionar aquí; hay algo que se
llama matriz idempotente, una matriz idempotente
es una matriz que podemos llamar A, tal que cuando la elevo al cuadrado obtengo la
misma matriz, A al cuadrado es igual a A, ustedes pueden encontrar matrices
idempotentes, que son muy comunes, en regresión lineal, como ya lo mencioné,
cuando uno resuelve el famoso problema de los mínimos cuadrados de la regresión,
minimizar los cuadrados mínimos, muchas veces nos encontramos con matrices
idempotentes al hacer esos cálculos, entre otros lugares; veamos un ejemplo rápido de
una matriz idempotente, la matriz 1 1 0 0 podemos pensar que es A, si la elevo al
cuadrado, veamos qué resultado nos da luego de hacer la multiplicación de
matrices; una vez más realizamos una secuencia de productos escalares, entonces
1 1 multiplicado por 1 0, resulta en 1; 1 1 multiplicado por 1 0, otra vez nos da 1
y cuando tomo el 2do renglón en la matriz de la izquierda 0 0 multiplicado resulta
en 0, entonces sí podemos estar seguros hemos elevado al cuadrado y nos dio igual
a A para esa matriz en particular, por lo tanto A es una matriz idempotente
Otro tipo de matrices que quiero mencionar aquí es algo que se llama matriz
nilpotente; una matriz nilpotente
la palabra nil les debe recordar que es algo relacionado con 0; entonces una
matriz nilpotente es cualquier matriz que cuando la elevo a cualquier potencia, lo
que obtengo es una matriz de 0 o donde M es más grande o igual a 1; veamos un
ejemplo de una matriz nilpotente, por ejemplo A 0 1 0 0; veamos que sucede
cuando elevamos al cuadrado a esta matriz vamos a tratar de hacerlo 0 1 0 0; por sí
misma, por 0 1 0 0, otra vez tengo que hacer una secuencia de productos escalares
para la multiplicación de matrices y el resultado acá va a ser 0 1 multiplicado
por la columna 0 es 0; 0 1 multiplicado por la 2da columna es 0 y me muevo al 0
todos 0, obtengo 0; entonces de hecho, en esta matriz particular 0 1 0 0 es una
matriz nilpotente
Esto nos muestra una idea esencial en álgebra lineal donde el álgebra es muy
diferente de las ecuaciones algebraicas que son usadas; en otras palabras, qué
pasa aquí? cuando mutliplico una matriz A por sí misma y obtengo 0, pero esa matriz
no es 0 en sí misma, en otras palabras tengo A x A igual a 0 y esto me suena
familiar con algo que en álgebra básica; si tengo Números Reales, digamos a x b y
al multiplicarlos obtengo 0, puedo usar algo que se llama el producto principal 0
para deducir que o bien a = 0 ó b = 0, más importante ese producto principal 0 falla
cuando se trata de matrices del álgebra lineal, tenemos un contra ejemplo aquí a
la mano, cuando multiplico A x A, ninguna matriz es la matriz 0, pero sin embargo su
producto resulta en la matriz 0; lo que esto quiere decir es que el producto
principal 0 falla en general en el álgebra lineal de matrices; esto hace que sea un
poco más complicado, en otras palabras, resolver las ecuaciones de las matrices