Otra clase que es muy usada en matemáticas es algo que se llama matriz Ortogonal una matriz ortogonal es una matriz cuyas columnas son mutuamente ortogonales, recuerden la definición de 2 vectores ortogonales, el producto escalar tiene que dar 0; también la norma de estos 2 vectores columnas tiene que ser igual a 1 se denomina el vector unidad; en forma conjunta la forma de las columnas se llama un conjunto ortonormal; por ejemplo si tomo la matriz 0 1 0, 0 0 1, 1 0 0 como la matriz A y vemos que sucede cuando tomo el producto escalar de los vectores columna; noten que, por supuesto, todos los vectores son vectores unidad, tienen como longitud 1, porque tienen un componente que vale 1 y el resto vale 0, esa parte es relativamente trivial, y cuando tomo el producto escalar de las 2 1ras columnas, por supuesto obtengo 0, no es difícil de ver, de la misma manera cuando tomo el producto escalar de la 2da columna y de la 3ra obtengo 0 y por último cuando tomo el producto escalar de la 1ra y de la 3ra columna obtengo 0; entonces es una matriz ortogonal por definición; una propiedad linda de las matrices ortogonales, dicho sea de paso las matrices ortogonales son típicamente denotadas con la letra mayúscula Q, entonces el aspecto clave de la definición de una matriz ortogonal es que cuando transpongo una matriz ortogonal es igual a la inversa; vamos a poner a prueba a esta propiedad. Voy a usar la matriz A, cuál es la transpuesta de esta matriz? bueno la matriz transpuesta es un cambio de renglones y columnas; la transposición se ve de este modo, tomo el renglón 1 y creo la columna 1 en la transpuesta y luego tomo el renglón 2 y lo cambio y lo coloco en la columna 2 y tomo el renglón 3 y lo cambio y lo coloco en el lugar de la columna 3 en mi matriz transpuesta; ok veamos ahora qué sucede cuando A * A transpuesta; escribo esto aquí, 0 0 1, 1 0 0, 0 1 0, esta es mi matriz A y la transpuesta como recién vimos es 0 1 0, 0 0 1, 1 0 0, acá está A transpuesta; qué sucede cuando multiplico estas 2 matrices juntas, tengo que realizar una secuencia de productos escalares en forma efectiva, renglón 1 contra la columna 1, ok 1 cuando multiplico el renglón 1 con la columna 2, pueden ver que es 0, renglón 1 con columna 3 obtengo 0 y así sucesivamente, ahora me muevo al renglón 2 multiplicado por la columna 1 que me da 0, renglón 2 por la columna 2 me da 1, y el último producto escalar para el renglón 2 resulta en 0, nos movemos al renglón 3, tengo que multiplicar el renglón 3 por la columna 1 y obtengo 0, el siguiente producto escalar me da 0 también y por último el 3er producto escalar me da 1, entonces de hecho veamos cual es nuestro resultado, bien, aquí está A, aquí está A transpuesta A es una matriz ortogonal, como pudimos descubrir antes y pudimos verificar esta propiedad esencial de las matrices ortogonales, la transpuesta es igual a la inversa, en otras palabras cuando multiplico A por la transpuesta, debido a que es una matriz ortogonal, por el resultado de este teorema, puedo obtener la matriz identidad y de hecho fue lo que hicimos, esta por supuesto es la matriz identidad y el resultado es verdadero si cambio el orden de la multiplicación