Otra clase que es muy usada en matemáticas es algo que se llama matriz Ortogonal
una matriz ortogonal es una matriz cuyas columnas son mutuamente ortogonales,
recuerden la definición de 2 vectores ortogonales, el producto escalar tiene que
dar 0; también la norma de estos 2 vectores columnas tiene que ser igual a 1
se denomina el vector unidad; en forma conjunta la forma de las columnas se llama
un conjunto ortonormal; por ejemplo si tomo la matriz 0 1 0, 0 0 1, 1 0 0 como
la matriz A y vemos que sucede cuando tomo el producto escalar de los vectores
columna; noten que, por supuesto, todos los vectores son vectores unidad, tienen
como longitud 1, porque tienen un componente que vale 1 y el resto vale 0,
esa parte es relativamente trivial, y cuando tomo el producto escalar de las 2
1ras columnas, por supuesto obtengo 0, no es difícil de ver, de la misma manera
cuando tomo el producto escalar de la 2da columna y de la 3ra obtengo 0 y por último
cuando tomo el producto escalar de la 1ra y de la 3ra columna obtengo 0; entonces es
una matriz ortogonal por definición; una propiedad linda de las matrices
ortogonales, dicho sea de paso las matrices ortogonales son típicamente
denotadas con la letra mayúscula Q, entonces el aspecto clave de la definición
de una matriz ortogonal es que cuando transpongo una matriz ortogonal es igual a
la inversa; vamos a poner a prueba a esta propiedad. Voy a usar la matriz A, cuál es
la transpuesta de esta matriz? bueno la matriz transpuesta es un cambio de
renglones y columnas; la transposición se ve de este modo, tomo el renglón 1 y creo
la columna 1 en la transpuesta y luego tomo el renglón 2 y lo cambio y lo coloco
en la columna 2 y tomo el renglón 3 y lo cambio y lo coloco en el lugar de la
columna 3 en mi matriz transpuesta; ok veamos ahora qué sucede cuando A * A
transpuesta; escribo esto aquí, 0 0 1, 1 0 0, 0 1 0, esta es mi matriz A y la
transpuesta como recién vimos es 0 1 0, 0 0 1, 1 0 0, acá está A transpuesta; qué
sucede cuando multiplico estas 2 matrices juntas, tengo que realizar una secuencia
de productos escalares en forma efectiva, renglón 1 contra la columna 1, ok 1 cuando
multiplico el renglón 1 con la columna 2, pueden ver que es 0, renglón 1 con columna
3 obtengo 0 y así sucesivamente, ahora me muevo al renglón 2 multiplicado por la
columna 1 que me da 0, renglón 2 por la columna 2 me da 1, y el último producto
escalar para el renglón 2 resulta en 0, nos movemos al renglón 3, tengo que
multiplicar el renglón 3 por la columna 1 y obtengo 0, el siguiente producto escalar
me da 0 también y por último el 3er producto escalar me da 1, entonces de
hecho veamos cual es nuestro resultado, bien, aquí está A, aquí está A transpuesta
A es una matriz ortogonal, como pudimos descubrir antes y pudimos verificar esta
propiedad esencial de las matrices ortogonales, la transpuesta es igual a la
inversa, en otras palabras cuando multiplico A por la transpuesta, debido a
que es una matriz ortogonal, por el resultado de este teorema, puedo obtener
la matriz identidad y de hecho fue lo que hicimos, esta por supuesto es la matriz
identidad y el resultado es verdadero si cambio el orden de la multiplicación