En la sección 2-c me gustaría hablar de unos tipos esenciales de matrices, para
comenzar empecemos por lo que se llama matriz identidad; la matriz de identidad
suele escribirse con una I mayúscula e indico con el subíndice 2 para indicar el
hecho de que estoy hablando o me estoy refiriendo a una matriz identidad de 2 x 2
la matriz identidad es siempre una matriz cuadrada y el subíndice indica las
dimensiones de esa matriz; por definición la matriz identidad se ve así, colocamos 1
en la diagonal principal para la identidad y 0 en los espacios fuera de la diagonal,
por ejemplo si quiero considerar la matriz identidad en 3 dimensiones, una matriz de
3 x 3, voy a colocar otra vez a los 1 en la diagonal principal y 0 en los lugares
por fuera de la diagonal principal. La característica definitiva de la matriz
identidad en un sentido algebraico es que cuando multiplico cualquier matriz
cuadrada por la matriz identidad, obtengo esa matriz otra vez; en otras palabras A,
digamos que A es una matriz de m x n por la matriz identidad es igual a A en sí
misma; otra propiedad algebraica interesante de la identidad es que el
orden en el que multiplico una matriz por la identidad no importa; la matriz
identidad conmuta con cualquier matriz A y produce esa misma matriz, se accede a un
elemento de identidad, es importante darse cuenta que aún cuando la matriz identidad
es conmutativa para la multiplicación con cualquier matriz, en general, por supuesto
la multiplicación de matrices no es conmutativa; veamos ahora como la matriz
identidad funciona; voy a elegir un ejemplo bonito, digamos que A es 1, 2, 3 y
4, que sucede en el caso de 2 x 2 cuando la multiplico por la matriz identidad,
veamos que obtenemos nuevamente A en ambos casos, en ambas direcciones; hagamos esto
bien simple con 1 solo caso, multipliquemos con I a la izquierda por la
matriz identidad de 2 x 2, una vez más la multiplicación de matrices comienza con el
renglón 1 multiplicado por la columna 1 y así sucesivamente y la matriz resultante 1
0 multplicado por 1 3 me da 1 + 0, pongo 1 acá y me muevo a la 2da columna, es el
renglón 1 multiplicado por la columna 2, me da 1 x 2 es 2 + 0 x 4 es 0, obtengo así
un 2, de esta forma agoté el 1er renglón, entonces me muevo al 2do renglón, tomo el
renglón 2 y lo multiplico por la columna 1 y tengo 0 + 3, me muevo al último vector
acá, la última columna, 0 1 multiplicado por el vector 2 4 y obtengo 4; de hecho
la multiplicación de la Identidad por A, resulta en A
quiero que pensemos en la matriz de identidad como si fuera el número 1 de
nuestro sistema de números reales, en otras palabras cuando multiplico cualquier
número por 1, obtengo nuevamente ese mismo número; es importante ver esa conexión
la matriz identidad es muy importante en el álgebra lineal en el sentido de que es
relevante en lo que se llama "matriz inversa"; primero que nada, no todas las
matrices pueden ser invertidas, no todas las matrices tienen una inversa
hablando en forma general decimos que la inversa de una matriz cuadrada, de n x n
si A tiene inversa
entonces
existe
podemos decir una matriz A inversa, noten el súper índice, siempre es n x n
tal que cuando multiplico A por su inversa obtengo la matriz Identidad, podemos
eliminar los subíndices, en otras palabras A x A inversa es igual a la Identidad y en
la dirección inversa A inversa por A es igual a la Identidad, esencialmente si una
matriz es invertible entonces hay una matriz ahí afuera que podemos encontrar
que esencialmente cancela esa matriz por la multiplicación
veamos un ejemplo rápido, digamos que A es una matriz con 1, 2, 3 y 4, voy a proponer
que hay una matriz inversa ahí afuera para esa matriz y esa matriz es -2, 1, 3/2 y
-1/2; si multiplico A por la inversa debería terminar con la de identidad
tenemos que hacer un poquito rápido, tenemos -2 + 3, esto da 1 debido al
producto escalar, tomo el renglón 1 y lo multiplico por la columna 2 en la matriz
de la derecha 1 x 1 es 1 menos 1 es 0, ahora me muevo al 2do renglón, escalo ese
renglón con la 1er columna y obtengo -6 + otro 6 y eso da como resultado 0 y por
último tomo el renglón 2 y lo escalo por la columna 2 y obtengo 3 - 2 que resulta
en 1, seguro obtuvimos una matriz de identidad y otra vez si cambio el orden de
la multiplicación por la inversa A x A eso también resulta en la Identidad
si tengo por ejemplo una ecuación de matrices, funciona en muchos sentidos
una ecuación algebraica con valores de variable reales y digamos que sé que esta
matriz A y conozco esta matriz B pero quiero resolver para esta matriz X que es
mi matriz incógnita, bueno si A es invertible, entonces hay una razón por la
cual puedo multiplicar ambos lados de esta ecuación por la inversa y si hago eso
emerge una propiedad muy linda de las matrices, les puede sonar familiar de los
números reales, la multiplicación de matrices no es conmutativa, pero es
asociativa; en otras palabras, puedo asociar la inversa de A y A en 1er lugar,
multiplicando estas 2 matrices juntas, que me llevan a la matriz Identidad, cuando
multiplico la matriz Identidad por X, en la parte izquierda, eso me lleva por
definición a una sola matriz X y ahora pude resolver una ecuación de matrices
para matrices desconocidas, X en este caso hay una aplicación muy común y linda de
las matrices inversas para resolver ecuaciones de matrices