La última operación con matrices que vamos a mencionar aquí es la llamada
transposición de matrices, la forma en que funciona la transposición es tomar una
matriz y luego esencialmente cambiamos los renglones y las columnas de esa matriz, la
forma en que esto se escribe, supongamos que tenemos una matriz A que tiene mxn y
quiero transponerla, utilizo un índice T y lo leo "transposición de A" y lo que esto
hace es producir una nueva matriz que ahora será de nxm y en esta nueva matriz
los renglones y las columnas son intercambiados
por ejemplo tomemos la matriz, hagamos que no sea cuadrada, digamos 1, 2, 3, 4, 5 y 6
esta matriz en particular tiene 3 renglones y 2 columnas, es una matriz de 3
x 2 y la voy a transponer, esencialmente cambio los renglones y las columnas, acá
el renglón 1 se transforma en la columna 1 escribo entonces 1 y 2 en la matriz
transpuesta, el renglón 2 se vuelve la columna 2 y el renglón 3 se transforma en
la columna 3; acá tenemos la transposición de la matriz A, noten que las dimensiones
se intercambian, ahora la transposición de la matriz de 3 x 2 nos devuelve una matriz
de 2 x 3, tiene 2 renglones y 3 columnas; otra forma de ver esto es, cuando tomamos
la transposición de una matriz en términos de ij o notación indexada para los
componentes de la matriz, uno puede ver por ejemplo que el componente a11, si
cambio el índice ij igual me quedo con a11 es como si no se hubiera movido, pero si
tomo un elemento diferente, puedo ver el elemento a12, qué pasa cuando aplico la
transposición a este elemento en particular, bueno también se intercambia,
a12 se transforma en a21 como se puede ver acá y lo mismo ocurre con el resto de los
elementos en la matriz; hablando en forma general con una matriz tengo que
considerar los elementos aij en la forma i renglón y j columna, hago a transposición
y termino con el elemento aji; en otras palabras podemos ver esta operación de
transposición considerando una matriz cuadrada, por ejemplo, definamos otra
matriz B que tenga 1, 2, 3 y 4 y voy a transponer a B, podemos pensar en esto
como intercambiando los renglones y las columnas y es que la operación de
transponer deja a los elementos de la diagonal, el 1 y el 4 sin cambios y cambia
los elementos a través de esa diagonal, el resto de los elementos de la matriz; en
otras palabras 1 y 4 permanecen en el mismo lugar y los elementos que quedan
fuera de la diagonal son los que se intercambian y obtenemos esta matriz y
notemos otra vez que el renglón 1 se vuelve la columna 1 y el renglón 2 se
vuelve la columna 2; quiero hacer otro comentario sobre la operación de la
transposición es que tenemos esta propiedad tan bonita que se usa muy
frecuentemente, tomamos A + B, sumo ambas matrices juntas y las transpongo y esto es
lo mismo que la suma de las transposiciones de cada matriz, esta es
una linda clase de propiedad y en 2do lugar otra propiedad común que involucra a
las matrices y la transposición; si tomo el producto de 2 matrices, A y B y aplico
la transposición, hay que ser cuidadoso con esto, cambiamos el orden de la
multiplicación de estas 2 matrices y en forma subsecuente tomamos las
transposiciones en forma respectiva, en otras palabras A y B transpuestas es igual
a B transpuesta por A transpuesta