vamos a decir algo más sobre la multiplicación de matrices, el único modo
en el que puedo definir la multiplicación de matrices en forma apropiada es si digo
tengo una matriz A de m x n , en este caso B tendrá que tener n x p; lo de abajo
implica que en un sentido dimensional, necesitamos que el número de columnas para
la matriz de la izquierda que sea equivalente con el número de renglones de
la matriz de la derecha y la matriz resultante, A x B terminará en una matriz
de m x p; veamos esto en acción; digamos que tenemos a A que es una matriz de 3 x 2
1, 2, 3, 4, 5, 6, son 3 renglones y 2 columnas y la quiero multiplicar por una
matriz de 2 x 3; una matriz de 2 x 3 significa que tengo 2 renglones y 3
columnas; la lleno con números similares, es la matriz de 2 x 3, llamo A a la matriz
de la izquierda y B a la de la derecha, para que notemos, en la superficie, que
cuando multiplico estas matrices, tengo que estar seguro que las dimensiones en
término del número de columnas de A, que es 2 coincida con el número de renglones
de la matriz de la derecha, que acá también es de 2; cuando realizo cada
producto escalar, estoy mutliplicando 2 vectores que tienen la misma dimensión
esa multiplicación de matrices será definida en términos de sus dimensiones y
la matriz resultante, podemos verificarlo, será una matriz de 3 x 3, tenemos que es
9 cuando multiplicamos todo junto
como podemos definir a la multiplicación de matrices en una forma relativamente
simple como para poder extenderla a otros casos y hablar de la potencia de las
matrices o de exponenciación de matrices; por ejemplo podemos hacer lo siguiente, si
quiero elevar al cuadrado a una matriz, tengo una matriz de nxm, quiero en una
forma natural multiplicar esa matriz por sí misma y aquí expongo en forma explícita
las dimensiones de la matriz para reforzar la idea de que la multiplicación de
matrices es lo que tenemos que hacer, en otras palabras el número de columnas de la
matriz que está a la izquierda es n y es igual, por supuesto al número de renglones
de la matriz de la derecha, todo tiene que ser cuadrado, así lo definimos en forma
general, si quiero tomar la potencia K de la matriz, donde K es un entero igual o
más grande que 1, voy a multiplicar la matriz por sí misma K veces, así definimos
la potencia para las matrices
Voy a decir una cosa más en términos de hacer que la multiplicación de matrices
sea un poco más intuitiva; podemos pensar en una aplicación simple en el terreno de
la economía; puedo considerar algo como esto, definimos una matriz de precios y
una matriz de demanda; digamos que la matriz de demanda la definimos con 2
clientes que compran cosas, podemos poner que el cliente 1 va a invertir 5 unidades
un acción 1 y 20 unidades de la acción 2, este renglón para nuestra matriz de
demanda representa al cliente nro 1, por el otro lado tengo otro cliente acá, el
cliente nro 2 representado o encodificado por el renglón 2 acá, digamos por el otro
lado que compra 15 unidades de la acción 1 y 10 unidades de la acción 2 y necesitamos
una matriz de precios para que la aplicación quede completa, para cada una
de estas acciones; ponemos que el precio de la acción 1, hagamos las cosas lindas y
simples, es de 100 dólares, precio de la acción 1
y el precio de la acción 2 será de 200 dólares por cada unidad
nuestro objetivo es multiplicar la matriz de demanda de acá por la matriz de precios
empecemos a llenar estas cosas y luego podremos interpretar la multiplicación de
matrices en una forma natural; al multiplicar D x P, demanda por la matriz
de precios, voy a usar el producto escalar del renglón 1 por la única columna, la
columna 1, entonces 5 x 100 es 500 y 20 x 200, voy a sumar todos estos números en
forma conjunta, 500 + 4000, tengo 4500 para el 1er renglón, luego tomo el renglón
2 y lo multiplico por la columna de la matriz de precios, tengo 1500 + 2000 y que
es lo que representa esta multiplicación escalar de 2 matrices? bueno acá tengo el
total de inversión, esta matriz nos muestra una suerte de totalizador, es el
total de la inversión del cliente 1 con respecto a las acciones 1 y 2 en forma
conjunta y en el renglón 2 tengo el total de las inversiones del cliente 2 para
ambas clases de acciones, 1 y 2, este es un ejemplo simple y divertido para la
multiplicación de matrices para que consolidemos la idea