vamos a tomarnos un minuto para hacer un
ejemplo simple del cálculo del producto

cruzado

Definamos de nuevo, un ejemplo simple,
para que podamos verlo con algunos números

y podamos reforzar algunos conceptos; u
será el vector 1, 1, 0 y v será 1, 0, 0;

recuerden que cuando calculamos el 
producto cruzado, la interpretación

geométrica implica un nuevo vector que es
mutuamente ortogonal tanto a u como a v

el cálculo del producto cruzado trabaja de
esta forma, u cruzado con v, armo una

matriz de 3 x 3 y voy a tomar el 
determinante de la matriz, a lo largo del

1er renglón escribo los vectores unitarios
i, j y k, que fueron mencionados

anteriormente y luego los componentes del
1er vector u en el 2do renglón y los

componentes del 2do vector en el 3er 
renglón para v; luego expando ese

determinante a lo largo del 1er renglón,
lo que obtengo es i por el determinante de

la submatriz con respecto a i, recuerden
que debo eliminar el 1er renglón y la 1ra

columna y el resultado es 1, 0, 0, 0, así

calculo el determinante, por la fórmula 
del determinante de 2 x 2, que vamos a ver

en un momento, luego cambio el signo y
obtengo -j escalado por lo que resta

cuando remuevo la 2da columna y el 1er
renglón y obtengo 1, 0, 1, 0

respectivamente, calculamos ese 
determinante, + k, expandimos el 1er

renglón, remuevo el 1er renglón y la 3er
columna y obtengo 1, 1, 1, 0 para ese

determinante; ok ahora uso el determinante
de 2 x 2 para calcularlo y simplificar el

resultado; ad - bc; 1 por 0 es 0 menos 0
por 0 es 0, obtenemos al final 0 por i,

y luego calculamos ad - bc por el 
determinante de 2 x 2, 1 por 0 es 0 menos

0 otra vez, pongo -0 por j, no importa el
resultado y por último ponemos el signo +

k multiplicado por el valor escalar, ad
menos bc, 1 por 0 es 0 menos 1 por 1 es -1

el resultado es -k, mi resultado final es
algo así, un poco, realmente es -k, pero

les recuerdo que k es el vector unitario
en la dirección positiva del eje Z, 0, 0,

1, en otras palabras tengo el negativo de
0, 0, 1, cuando distribuyo ese negativo

obtengo 0, 0, -1 y esa es mi respuesta, 
ahí está u x v, ese es el cálculo; vamos a

ver si entendimos el significado 
geométrico de todo esto

vamos a verlo en un espacio de 3D, estamos
hablando del vector normal aquí,

vectores perpendiculares, en este caso lo
vemos en azul, nuestro vector original u

es 1, 1, 0, este es mi eje X, mi eje Y y 
mi eje Z, el vector u tiene en este

componente Z un 0, está en el plano de X e
Y, va a atravesar ese punto, más o menos

por ahí, ahí está mi vector u, vamos a
etiquetarlo y mi vector v es el vector

unitario como el vector i, es el vector
unitario en la dirección positiva del eje

X, aquí está mi vector v; ok, recordemos
que por la regla de la mano derecha, la

regla de la mano derecha orienta el 
producto cruzado; entonces curvamos en la

dirección del 1er vector hacia el 2do, 
curvo de u hacia v, apunto mi pulgar hacia

abajo, eso me dice que el producto cruzado
de estos vector apunta hacia abajo y los

vectores que serán mutuamente ortogonales
a tanto u como v, tanto u como v están en

el plano de X e Y, por lo tanto debo 
moverme seguramente en el eje de las Z y

aquí está, de hecho, el producto cruzado u

x v y que es igual a lo que obtuvimos en
forma algebraica, disculpas, 0, 0, -1 se

nota que va en la dirección negativa del
eje de las Z, como se puede ver en el

diagrama, ahí hay un cálculo rápido del
producto cruzado