vamos a tomarnos un minuto para hacer un ejemplo simple del cálculo del producto
cruzado
Definamos de nuevo, un ejemplo simple, para que podamos verlo con algunos números
y podamos reforzar algunos conceptos; u será el vector 1, 1, 0 y v será 1, 0, 0;
recuerden que cuando calculamos el producto cruzado, la interpretación
geométrica implica un nuevo vector que es mutuamente ortogonal tanto a u como a v
el cálculo del producto cruzado trabaja de esta forma, u cruzado con v, armo una
matriz de 3 x 3 y voy a tomar el determinante de la matriz, a lo largo del
1er renglón escribo los vectores unitarios i, j y k, que fueron mencionados
anteriormente y luego los componentes del 1er vector u en el 2do renglón y los
componentes del 2do vector en el 3er renglón para v; luego expando ese
determinante a lo largo del 1er renglón, lo que obtengo es i por el determinante de
la submatriz con respecto a i, recuerden que debo eliminar el 1er renglón y la 1ra
columna y el resultado es 1, 0, 0, 0, así
calculo el determinante, por la fórmula del determinante de 2 x 2, que vamos a ver
en un momento, luego cambio el signo y obtengo -j escalado por lo que resta
cuando remuevo la 2da columna y el 1er renglón y obtengo 1, 0, 1, 0
respectivamente, calculamos ese determinante, + k, expandimos el 1er
renglón, remuevo el 1er renglón y la 3er columna y obtengo 1, 1, 1, 0 para ese
determinante; ok ahora uso el determinante de 2 x 2 para calcularlo y simplificar el
resultado; ad - bc; 1 por 0 es 0 menos 0 por 0 es 0, obtenemos al final 0 por i,
y luego calculamos ad - bc por el determinante de 2 x 2, 1 por 0 es 0 menos
0 otra vez, pongo -0 por j, no importa el resultado y por último ponemos el signo +
k multiplicado por el valor escalar, ad menos bc, 1 por 0 es 0 menos 1 por 1 es -1
el resultado es -k, mi resultado final es algo así, un poco, realmente es -k, pero
les recuerdo que k es el vector unitario en la dirección positiva del eje Z, 0, 0,
1, en otras palabras tengo el negativo de 0, 0, 1, cuando distribuyo ese negativo
obtengo 0, 0, -1 y esa es mi respuesta, ahí está u x v, ese es el cálculo; vamos a
ver si entendimos el significado geométrico de todo esto
vamos a verlo en un espacio de 3D, estamos hablando del vector normal aquí,
vectores perpendiculares, en este caso lo vemos en azul, nuestro vector original u
es 1, 1, 0, este es mi eje X, mi eje Y y mi eje Z, el vector u tiene en este
componente Z un 0, está en el plano de X e Y, va a atravesar ese punto, más o menos
por ahí, ahí está mi vector u, vamos a etiquetarlo y mi vector v es el vector
unitario como el vector i, es el vector unitario en la dirección positiva del eje
X, aquí está mi vector v; ok, recordemos que por la regla de la mano derecha, la
regla de la mano derecha orienta el producto cruzado; entonces curvamos en la
dirección del 1er vector hacia el 2do, curvo de u hacia v, apunto mi pulgar hacia
abajo, eso me dice que el producto cruzado de estos vector apunta hacia abajo y los
vectores que serán mutuamente ortogonales a tanto u como v, tanto u como v están en
el plano de X e Y, por lo tanto debo moverme seguramente en el eje de las Z y
aquí está, de hecho, el producto cruzado u
x v y que es igual a lo que obtuvimos en forma algebraica, disculpas, 0, 0, -1 se
nota que va en la dirección negativa del eje de las Z, como se puede ver en el
diagrama, ahí hay un cálculo rápido del producto cruzado