hablemos ahora de la cuarta operación con vectores, conocida como el producto cruzado El producto cruzado es una operación binaria, como el producto escalar, donde comenzamos con 2 vectores y lo denotamos así u cruzado con v a diferencia del producto escalar, que, como recordarán nos da como resultado un escalar, el producto cruzado, por el otro lado, resulta en un vector el resultado es un vector u cruzado con v es el vector que es tanto perpendicular a u y también a v, en otras palabras, u cruzado con v es mutuamente ortogonal a u y a v, lo dibujé aquí, en otras palabras lo podemos decir también de esta manera, u cruzado con v es ortogonal al plano que contiene a u y a v; uno de los comentarios que tenemos que hacer aquí es que si les pido que dibujen un vector que sea mutuamente ortogonal a u y a v, tienen demasiadas opciones, uno puede dibujar un vector que vaya para arriba, o un vector que vaya para abajo; entonces como hago para determinar la orientación, en otras palabras, qué dirección es la que apunta ese vector, luego del producto cruzado; y la respuesta es que usamos algo que se llama la "regla de la mano derecha" y esto es algo que viene de la física y de la ingeniería y en donde literalmente usamos la mano derecha, sostengan la mano derecha arriba, y crucen sus dedos en la dirección del primer vector que cruzarán con el 2do vector, entonces curven sus dedos de u hacia v, de acuerdo al diagrama y mi pulgar me va a decir la dirección y la orientación del producto cruzado de estos 2 vectores; de hecho si lo cruzamos vemos como apunta hacia arriba; es importante tomar en cuenta aquí que lo que sucede si invierto el orden del producto cruzado, bueno, esencialmente obtengo un vector diferente, también, como el producto cruzado es ortogonal a u y a v, obtengo ese vector pero en la dirección opuesta, tiene una orientación negativa, veamos aquí como funciona la regla de la mano derecha; v cruzado con u, por la regla de la mano derecha, significa que curvo mis dedos del primer vector en el 2do y así noto la orientación de mi pulgar, mi pulgar apunta hacia abajo, eso quiere decir que es el negativo del vector original Vayamos a la definición algebraica del producto cruzado de 2 vectores; ok necesito introducir algo de nueva notación aquí; vamos a introducir estos vectores comunes, que son denominados como vectores unidad, i, j y k; son muy comunes en física y en ingeniería, son la base de la notación de vectores el vector i, por definición, es 1, 0, 0 si estamos en un espacio de 3D, el vector j es 0, 1, 0 y el vector k es 0 , 0, 1; qué significa todo esto? bueno los vectores i, j, k son llamados a veces vectores unitarios o bases canónicas; son todos vectores unitarios, que implica que su norma o longitud es 1 y respectivamente i apunta en la dirección del eje positivo de X, j en la dirección del eje Y y k en la dirección del eje Z, estos son los vectores unitarios definamos ahora el producto cruzado de u y v; lo que vamos a hacer ahora es calcular lo que se denomina el determinante de una matriz, en la próxima sección vamos a ver qué es una matriz; pero por ahora pensemos en una matriz como en un conjunto de números; para tomar el producto cruzado, tengo que empezar por escribir un conjunto de 9 números, un conjunto de 3 x 3, en el 1er renglón de ese conjunto, de esa matriz escribo estos vectores i, j, k en ese orden en particular; en el renglón que sigue voy a escribir los componentes del 1er vector u y en el 3er renglón, el renglón último pongo los componentes de v por lo tanto necesitamos algunas etiquetas u, sólo para hacer las cosas lindas e intuitivas, digamos que los componentes son u1, u2, y u3 respectivamente y v tiene como componentes a v1, v2 y v3, ok ya formulamos el producto cruzado en este conjunto de números de 3 x 3, i, j, k, son los vectores unitarios, ahora vienen los componentes de u, u1, u2 y u3 y ahora siguen los componentes del 2do vector, v1, v2 y v3, ya está todo listo; las líneas verticales (ya vamos a jugar con ellas cuando en la próxima sección veamos que son los determinantes), pero por ahora significa que los determinantes de esta matriz y para nosotros, en esta coyuntura, voy a darles la definición computacional de los determinantes, ya vamos a hablar más de ello en términos de su significado teórico; pero aquí quiero calcular esos determinantes, entonces aquí tenemos la definición algebraica del producto cruzado lo que tenemos que hacer se hace en 3 pasos, para calcular este determinante, las líneas verticales tengo que hacer lo siguiente, comienzo con el 1er componente en el 1er renglón, que es i, para calcular este determinante voy a remover, momentáneamente, voy a remover el renglón 1 y la columna 1, la columna y el renglón que contiene a i, lo que obtengo es una submatriz o un subconjunto de números de 2 x 2, voy a escribir estos números también en términos del determinante, entonces quito el 1er componente, elimino el 1er renglón y la 1era columna y entonces escribo este determinante de 2 x 2 con estos componentes que quedan, u2, u3, v2 y v3, aquí termina la 1era fase, luego sigo expandiendo lo que hice con el 1er renglón necesito por una cuestión del cálculo, tener un valor negativo aquí, piensen en esto como simplemente una definición, tengo una j negativa, ahora me focalizo en este siguiente elemento, me expando por este renglón, de la misma forma que hice en el 1er paso, voy a remover la columna que contiene a j y el renglón que contiene a j y lo que me queda es este conjunto de 2 x 2, u1, u3 (la barra vertical) y para completar el determinante necesito v1 y v3 hemos hecho nuestro 2do cálculo de la misma manera que hicimos recién, ok ya hice mis primeros 2 pasos, expandiendo el 1er renglón, mi 2do componente es k y el signo en este caso es positivo para ese vector k, como lo definimos antes, otra vez remuevo el renglón y la columna que contienen a k y obtengo la submatriz de la que voy a obtener el determinante y lo que queda es u1, u2, v1, v2 y ese determinante ok, aquí tenemos la definición algebraica del producto cruzado de 2 vectores, lo 1ro que hago es armar esta matriz de 3 x 3, i, j, k, los componentes del 1er vector, componentes del 2do vector con sus renglones respectivos; luego expando este determinante a lo largo del 1er renglón, coloco el componente i multiplicado por el determinante de esa submatriz menos el componente j multiplicado por el determinante de su submatriz correspondiente más el componente k multiplicado por el determinante de la submatriz correspondiente; ok el determinante produce un número, produce un escalar, ahora les voy a dar rápidamente la definición, vamos a volver sobre esto más adelante en el curso, la definición de una matriz de 2 x 2, ok las líneas verticales son el determinante y la definición, pueden pensar en esto, otra vez, como algo que coloco aquí por el momento, es ad menos bc, hago una suerte de multiplicación cruzada y luego calculo la diferencia; esta es la definición del determinante de 2 x 2; lo que voy a hacer ahora es calcularlo con un ejemplo simple y mostrarles cómo podemos hacerlo y evaluar el resultado, pero quiero recordarles que cuando calculo el producto cruzado no hay vectores al final, esto me dice que cuando calculo este determinante el peso sobre el vector i, el peso sobre el vector j y el peso sobre el vector k y el significado geométrico de ese nuevo vector va a ser mutuamente ortogonal a ambos, u y v y poseerá la orientación que indica que u se curva sobre v debido a la regla de la mano derecha