hablemos ahora de la cuarta operación con vectores, conocida como el producto
cruzado
El producto cruzado es una operación binaria, como el producto escalar, donde
comenzamos con 2 vectores y lo denotamos así u cruzado con v
a diferencia del producto escalar, que, como recordarán nos da como resultado un
escalar, el producto cruzado, por el otro lado, resulta en un vector
el resultado es un vector u cruzado con v es el vector que es tanto perpendicular a
u y también a v, en otras palabras, u cruzado con v es mutuamente ortogonal a u
y a v, lo dibujé aquí, en otras palabras lo podemos decir también de esta manera, u
cruzado con v es ortogonal al plano que contiene a u y a v; uno de los comentarios
que tenemos que hacer aquí es que si les pido que dibujen un vector que sea
mutuamente ortogonal a u y a v, tienen demasiadas opciones, uno puede dibujar un
vector que vaya para arriba, o un vector que vaya para abajo; entonces como hago
para determinar la orientación, en otras palabras, qué dirección es la que apunta
ese vector, luego del producto cruzado; y la respuesta es que usamos algo que se
llama la "regla de la mano derecha" y esto es algo que viene de la física y de la
ingeniería y en donde literalmente usamos la mano derecha, sostengan la mano derecha
arriba, y crucen sus dedos en la dirección del primer vector que cruzarán con el 2do
vector, entonces curven sus dedos de u hacia v, de acuerdo al diagrama y mi
pulgar me va a decir la dirección y la orientación del producto cruzado de estos
2 vectores; de hecho si lo cruzamos vemos como apunta hacia arriba; es importante
tomar en cuenta aquí que lo que sucede si invierto el orden del producto cruzado,
bueno, esencialmente obtengo un vector diferente, también, como el producto
cruzado es ortogonal a u y a v, obtengo ese vector pero en la dirección opuesta,
tiene una orientación negativa, veamos aquí como funciona la regla de la mano
derecha; v cruzado con u, por la regla de la mano derecha, significa que curvo mis
dedos del primer vector en el 2do y así noto la orientación de mi pulgar, mi
pulgar apunta hacia abajo, eso quiere decir que es el negativo del vector
original
Vayamos a la definición algebraica del producto cruzado de 2 vectores; ok
necesito introducir algo de nueva notación aquí; vamos a introducir estos vectores
comunes, que son denominados como vectores unidad, i, j y k; son muy comunes en
física y en ingeniería, son la base de la notación de vectores
el vector i, por definición, es 1, 0, 0 si estamos en un espacio de 3D, el vector j
es 0, 1, 0 y el vector k es 0 , 0, 1; qué significa todo esto? bueno los vectores i,
j, k son llamados a veces vectores unitarios o bases canónicas; son todos
vectores unitarios, que implica que su norma o longitud es 1 y respectivamente i
apunta en la dirección del eje positivo de X, j en la dirección del eje Y y k en
la dirección del eje Z, estos son los vectores unitarios
definamos ahora el producto cruzado de u y v; lo que vamos a hacer ahora es calcular
lo que se denomina el determinante de una matriz, en la próxima sección vamos a ver
qué es una matriz; pero por ahora pensemos en una matriz como en un conjunto de
números; para tomar el producto cruzado, tengo que empezar por escribir un conjunto
de 9 números, un conjunto de 3 x 3, en el 1er renglón de ese conjunto, de esa matriz
escribo estos vectores i, j, k en ese orden en particular; en el renglón que
sigue voy a escribir los componentes del 1er vector u y en el 3er renglón, el
renglón último pongo los componentes de v por lo tanto necesitamos algunas etiquetas
u, sólo para hacer las cosas lindas e intuitivas, digamos que los componentes
son u1, u2, y u3 respectivamente y v tiene como componentes a v1, v2 y v3, ok ya
formulamos el producto cruzado en este conjunto de números de 3 x 3, i, j, k, son
los vectores unitarios, ahora vienen los componentes de u, u1, u2 y u3 y ahora
siguen los componentes del 2do vector, v1, v2 y v3, ya está todo listo; las líneas
verticales (ya vamos a jugar con ellas cuando en la próxima sección veamos que
son los determinantes), pero por ahora significa que los determinantes de esta
matriz y para nosotros, en esta coyuntura, voy a darles la definición computacional
de los determinantes, ya vamos a hablar más de ello en términos de su significado
teórico; pero aquí quiero calcular esos determinantes, entonces aquí tenemos la
definición algebraica del producto cruzado lo que tenemos que hacer se hace en 3
pasos, para calcular este determinante, las líneas verticales tengo que hacer lo
siguiente, comienzo con el 1er componente en el 1er renglón, que es i, para calcular
este determinante voy a remover, momentáneamente, voy a remover el renglón
1 y la columna 1, la columna y el renglón que contiene a i, lo que obtengo es una
submatriz o un subconjunto de números de 2 x 2, voy a escribir estos números también
en términos del determinante, entonces quito el 1er componente, elimino el 1er
renglón y la 1era columna y entonces escribo este determinante de 2 x 2 con
estos componentes que quedan, u2, u3, v2 y v3, aquí termina la 1era fase, luego sigo
expandiendo lo que hice con el 1er renglón necesito por una cuestión del cálculo,
tener un valor negativo aquí, piensen en esto como simplemente una definición,
tengo una j negativa, ahora me focalizo en este siguiente elemento, me expando por
este renglón, de la misma forma que hice en el 1er paso, voy a remover la columna
que contiene a j y el renglón que contiene a j y lo que me queda es este conjunto de
2 x 2, u1, u3 (la barra vertical) y para completar el determinante necesito v1 y v3
hemos hecho nuestro 2do cálculo de la misma manera que hicimos recién, ok ya
hice mis primeros 2 pasos, expandiendo el 1er renglón, mi 2do componente es k y el
signo en este caso es positivo para ese vector k, como lo definimos antes, otra
vez remuevo el renglón y la columna que contienen a k y obtengo la submatriz de la
que voy a obtener el determinante y lo que queda es u1, u2, v1, v2 y ese determinante
ok, aquí tenemos la definición algebraica del producto cruzado de 2 vectores, lo 1ro
que hago es armar esta matriz de 3 x 3, i, j, k, los componentes del 1er vector,
componentes del 2do vector con sus renglones respectivos; luego expando este
determinante a lo largo del 1er renglón, coloco el componente i multiplicado por el
determinante de esa submatriz menos el componente j multiplicado por el
determinante de su submatriz correspondiente más el componente k
multiplicado por el determinante de la submatriz correspondiente; ok el
determinante produce un número, produce un escalar, ahora les voy a dar rápidamente
la definición, vamos a volver sobre esto más adelante en el curso, la definición de
una matriz de 2 x 2, ok las líneas verticales son el determinante y la
definición, pueden pensar en esto, otra vez, como algo que coloco aquí por el
momento, es ad menos bc, hago una suerte de multiplicación cruzada y luego calculo
la diferencia; esta es la definición del determinante de 2 x 2; lo que voy a hacer
ahora es calcularlo con un ejemplo simple y mostrarles cómo podemos hacerlo y
evaluar el resultado, pero quiero recordarles que cuando calculo el producto
cruzado no hay vectores al final, esto me dice que cuando calculo este determinante
el peso sobre el vector i, el peso sobre el vector j y el peso sobre el vector k y
el significado geométrico de ese nuevo vector va a ser mutuamente ortogonal a
ambos, u y v y poseerá la orientación que indica que u se curva sobre v debido a la
regla de la mano derecha