para tener una comprensión más completa 
del producto escalar y su interpretación

geométrica, que ya empezamos a ver aquí,
el producto escalar y lo que significa en

términos de proyecciones; para ilustrar 
esto vamos a hacer un dibujo, una imagen

simple, digamos el vector u y otro vector
v y quiero proyectar el vector u sobre el

vector v, voy a dibujar las implicancias
de esa idea, este vector que dibujé en

azul, aquí está el ángulo recto es la
proyección del vector u sobre el vector v

fíjense el orden en que escribí estos
vectores, ya que es muy importante, uno

puede pensar en la proyección como en una
función, si les parece, y la entrada de

esa función es u y eso es lo que voy a
proyectar sobre el vector particular v

por qué me preocuparía por una cosa así?
bueno, por dos motivos, la primera idea es

aparentemente geométrica, si proyecto u
sobre v, entonces este vector, que es

básicamente la diferencia entre estos 2
vectores, la longitud de ese vector es la

distancia en línea recta, en otras 
palabras la distancia más corta entre el

vector u y el vector v, cuando hablo de
distancias entre objetos geométricos como

puntos y líneas o planos, etc. eso 
inherentemente involucra a la proyección,

otra idea donde las proyecciones son muy
usadas es en el sentido físico, si puedo

pensar este vector u como una fuerza, 
recuerden que ya hablamos de una fuerza

que se aplica a un objeto, moviendo una
masa o si tomamos la fuerza de la gravedad

y digamos que quiero proyectar la fuerza
en una cierta dirección, puedo hablar de

un desplazamiento de ese vector, bueno el
producto escalar de esa proyección se

define en un sentido físico
donde se aplica el vector de fuerza en la

dirección de ese vector desplazado, 
entonces trabajo es fuerza por distancia,

como se nos dice en los libros de física,
en cualquier caso hay un par de

motivaciones y muchas otras razones,
créanme, para usar proyecciones, pero sólo

para quedarnos con los aspectos 
matemáticos, les voy a dar la definición

matemática de esta proyección, otra vez
tomamos u y lo proyectamos sobre v, va a

parecer un poco intenso por un momento,
pero quedará claro en unos instantes, la

definición es que tomamos el producto
escalar de u y v dividido por el producto

de v con si mismo, y los escalamos sobre
ese valor; encontrémosle algo de sentido a

esto, quiero escribir una ecuación, pero
en realidad si usamos la identidad de la

clase anterior, en la que relacionamos el
coseno, puedo dibujar un diagrama aquí en

términos del ángulo Theta y llamar a esta
proyección como el coseno de Theta por la

magnitud de u, usamos esta identidad
principalmente para ver esta cantidad

no escribamos mucho más, simplemente
veamos qué significa en términos del

producto escalar y cosas así; recuerden 
que el resultado del producto escalar es

un número escalar, por lo que u por v es
un número, v por v es un número, entonces

un número dividido por otro número nos da
un escalar y éste por supuesto es un

vector (como lo muestra la notación con la
flecha arriba); por lo tanto lo que

estamos haciendo es escalar un vector, ah!
ahora tiene sentido, la proyección de u

sobre v va a ser el de un componente 
escalar, esta es la longitud de esa

proyección básicamente; vamos a escalar el
vector v por ese valor, nuestra proyección

va en la dirección de v y esta parte es la
parte escalar; ahí estamos proyectando un

vector sobre otro; hagamos un ejemplo bien
rápido sólo para reforzar la idea;

supongamos que tengo el vector u

hagamos esto que sea lindo y simple, le
damos al vector u 1, 2 y lo quiero

proyectar sobre el vector v, un vector
simple y lindo, lo llamamos 1, 0

hagamos los cálculos y hablemos de como
geométricamente se conecta con nuestro

resultado; voy a tomar la proyección de u
sobre v, siguiendo la definición

entonces u por v, vayamos sobre él en un
costado para hacer los cálculos, entonces

u por v significa que multiplico los
componentes respectivamente en forma

conjunta y luego sumo el total, 1 por 1 es
1 más 2 por 0 que es 0, el producto

escalar de u por v es 1, esto está bien y
ahora podemos multiplicar v por sí mismo,

otra vez un número simple, sólo para
ilustrar el concepto, multiplico v con sí

mismo, 1 por 1 es 1 más 0 por 0 es 0,
obtenemos cuando multiplicamos v por v es

1, hay una coincidencia, no tiene que ser
siempre el mismo si usamos vectores

diferentes, pero usamos números simples 
aquí, entonces mi proyección de u sobre v

es u por v que como vimos es 1, v por v es
también 1 y el vector v (la dirección) es

1 y 0; cuál es el resultado? bueno 1 
dividido 1 es 1, entonces 1 es mi escalar

voy a escalar el vector 1, 0 por 1, por
supuesto esto no cambia el vector y

tenemos 1, 0 que es el vector v con el que
empezamos

entonces cuando proyecto u sobre v, en
este caso podemos dibujarlo para que se

pueda ver, pero simplemente haciendo los
cálculos, u por v dividido por v

multiplicado por v y escalando, aquí hay
un factor escalar en la dirección de v,

ahí está nuestro resultado, veamos por qué
esto es tan lindo

bueno, puedo dibujarlo para ver como 
escala, mi vector u, otra vez, el

componente de X es 1 y el componente de Y
es 2, aquí está mi vector u y mi vector v

vemos que está justo aquí, notemos que es
1, 0; cuál es la proyección de u sobre v?

por suerte lo podemos ver, no es otra cosa
que, proyectando básicamente sobre el eje

de las X, cuál es la proyección de u sobre
v? y no es otra cosa que el componente X

del vector u y es por eso que tenemos 1 y
0, es el componente X del vector u, en

forma similar, podemos ver cómo podemos
reforzar esto, tal vez haciendo otra

proyección simple, otra natural sería, 
bueno que tal si tomamos el vector u y lo

proyectamos sobre el eje de las Y como un
vector unidad o vector de longitud 1,

veamos cómo se verá eso; lo que podemos
pensar intuitivamente que si proyecto este

vector sobre el eje de las Y, básicamente
debería obtener el vector 0, 2, debido a

que ese es el componente Y de v después de
todo; vamos a hacerlo; definamos un nuevo

vector

un segundo caso que llamaremos v2 y lo
llamaremos vector, otra vez sobre el eje

de las Y, se llama el vector unidad porque
tiene una longitud de 1, este vector

definitivamente tiene una longitud de 1,
proyectemos este segundo caso

el vector original u sobre este nuevo
vector v2

y cuando hago eso (disculpen), cuando lo
hago obtengo el producto escalar de, en

este caso, u y v2, eso ya lo hicimos 
juntos, 1 por 0 es 0, 2 por 1 es 2,

entonces obtengo 2 aquí dividido por v
multiplicado por v, que ya calculamos y

nos dio 1, en la dirección del vector que
estoy proyectando sobre 2, que es v2, está

en la dirección de 0, 1; ok; veamos el 
valor escalar que es 2, si escalo el

vector 0, 1 por 2, mi vector resultante 
será 0, 2; aquí estoy seguro, lo escribo

en azul, aquí está la proyección, aquí 
está la proyección de u sobre el eje de

las X, aquí está la proyección de u sobre
el eje de las Y, en forma conjunta tenemos

los componentes de u; este es el producto
escalar y la noción de proyección