para tener una comprensión más completa del producto escalar y su interpretación
geométrica, que ya empezamos a ver aquí, el producto escalar y lo que significa en
términos de proyecciones; para ilustrar esto vamos a hacer un dibujo, una imagen
simple, digamos el vector u y otro vector v y quiero proyectar el vector u sobre el
vector v, voy a dibujar las implicancias de esa idea, este vector que dibujé en
azul, aquí está el ángulo recto es la proyección del vector u sobre el vector v
fíjense el orden en que escribí estos vectores, ya que es muy importante, uno
puede pensar en la proyección como en una función, si les parece, y la entrada de
esa función es u y eso es lo que voy a proyectar sobre el vector particular v
por qué me preocuparía por una cosa así? bueno, por dos motivos, la primera idea es
aparentemente geométrica, si proyecto u sobre v, entonces este vector, que es
básicamente la diferencia entre estos 2 vectores, la longitud de ese vector es la
distancia en línea recta, en otras palabras la distancia más corta entre el
vector u y el vector v, cuando hablo de distancias entre objetos geométricos como
puntos y líneas o planos, etc. eso inherentemente involucra a la proyección,
otra idea donde las proyecciones son muy usadas es en el sentido físico, si puedo
pensar este vector u como una fuerza, recuerden que ya hablamos de una fuerza
que se aplica a un objeto, moviendo una masa o si tomamos la fuerza de la gravedad
y digamos que quiero proyectar la fuerza en una cierta dirección, puedo hablar de
un desplazamiento de ese vector, bueno el producto escalar de esa proyección se
define en un sentido físico donde se aplica el vector de fuerza en la
dirección de ese vector desplazado, entonces trabajo es fuerza por distancia,
como se nos dice en los libros de física, en cualquier caso hay un par de
motivaciones y muchas otras razones, créanme, para usar proyecciones, pero sólo
para quedarnos con los aspectos matemáticos, les voy a dar la definición
matemática de esta proyección, otra vez tomamos u y lo proyectamos sobre v, va a
parecer un poco intenso por un momento, pero quedará claro en unos instantes, la
definición es que tomamos el producto escalar de u y v dividido por el producto
de v con si mismo, y los escalamos sobre ese valor; encontrémosle algo de sentido a
esto, quiero escribir una ecuación, pero en realidad si usamos la identidad de la
clase anterior, en la que relacionamos el coseno, puedo dibujar un diagrama aquí en
términos del ángulo Theta y llamar a esta proyección como el coseno de Theta por la
magnitud de u, usamos esta identidad principalmente para ver esta cantidad
no escribamos mucho más, simplemente veamos qué significa en términos del
producto escalar y cosas así; recuerden que el resultado del producto escalar es
un número escalar, por lo que u por v es un número, v por v es un número, entonces
un número dividido por otro número nos da un escalar y éste por supuesto es un
vector (como lo muestra la notación con la flecha arriba); por lo tanto lo que
estamos haciendo es escalar un vector, ah! ahora tiene sentido, la proyección de u
sobre v va a ser el de un componente escalar, esta es la longitud de esa
proyección básicamente; vamos a escalar el vector v por ese valor, nuestra proyección
va en la dirección de v y esta parte es la parte escalar; ahí estamos proyectando un
vector sobre otro; hagamos un ejemplo bien rápido sólo para reforzar la idea;
supongamos que tengo el vector u
hagamos esto que sea lindo y simple, le damos al vector u 1, 2 y lo quiero
proyectar sobre el vector v, un vector simple y lindo, lo llamamos 1, 0
hagamos los cálculos y hablemos de como geométricamente se conecta con nuestro
resultado; voy a tomar la proyección de u sobre v, siguiendo la definición
entonces u por v, vayamos sobre él en un costado para hacer los cálculos, entonces
u por v significa que multiplico los componentes respectivamente en forma
conjunta y luego sumo el total, 1 por 1 es 1 más 2 por 0 que es 0, el producto
escalar de u por v es 1, esto está bien y ahora podemos multiplicar v por sí mismo,
otra vez un número simple, sólo para ilustrar el concepto, multiplico v con sí
mismo, 1 por 1 es 1 más 0 por 0 es 0, obtenemos cuando multiplicamos v por v es
1, hay una coincidencia, no tiene que ser siempre el mismo si usamos vectores
diferentes, pero usamos números simples aquí, entonces mi proyección de u sobre v
es u por v que como vimos es 1, v por v es también 1 y el vector v (la dirección) es
1 y 0; cuál es el resultado? bueno 1 dividido 1 es 1, entonces 1 es mi escalar
voy a escalar el vector 1, 0 por 1, por supuesto esto no cambia el vector y
tenemos 1, 0 que es el vector v con el que empezamos
entonces cuando proyecto u sobre v, en este caso podemos dibujarlo para que se
pueda ver, pero simplemente haciendo los cálculos, u por v dividido por v
multiplicado por v y escalando, aquí hay un factor escalar en la dirección de v,
ahí está nuestro resultado, veamos por qué esto es tan lindo
bueno, puedo dibujarlo para ver como escala, mi vector u, otra vez, el
componente de X es 1 y el componente de Y es 2, aquí está mi vector u y mi vector v
vemos que está justo aquí, notemos que es 1, 0; cuál es la proyección de u sobre v?
por suerte lo podemos ver, no es otra cosa que, proyectando básicamente sobre el eje
de las X, cuál es la proyección de u sobre v? y no es otra cosa que el componente X
del vector u y es por eso que tenemos 1 y 0, es el componente X del vector u, en
forma similar, podemos ver cómo podemos reforzar esto, tal vez haciendo otra
proyección simple, otra natural sería, bueno que tal si tomamos el vector u y lo
proyectamos sobre el eje de las Y como un vector unidad o vector de longitud 1,
veamos cómo se verá eso; lo que podemos pensar intuitivamente que si proyecto este
vector sobre el eje de las Y, básicamente debería obtener el vector 0, 2, debido a
que ese es el componente Y de v después de todo; vamos a hacerlo; definamos un nuevo
vector
un segundo caso que llamaremos v2 y lo llamaremos vector, otra vez sobre el eje
de las Y, se llama el vector unidad porque tiene una longitud de 1, este vector
definitivamente tiene una longitud de 1, proyectemos este segundo caso
el vector original u sobre este nuevo vector v2
y cuando hago eso (disculpen), cuando lo hago obtengo el producto escalar de, en
este caso, u y v2, eso ya lo hicimos juntos, 1 por 0 es 0, 2 por 1 es 2,
entonces obtengo 2 aquí dividido por v multiplicado por v, que ya calculamos y
nos dio 1, en la dirección del vector que estoy proyectando sobre 2, que es v2, está
en la dirección de 0, 1; ok; veamos el valor escalar que es 2, si escalo el
vector 0, 1 por 2, mi vector resultante será 0, 2; aquí estoy seguro, lo escribo
en azul, aquí está la proyección, aquí está la proyección de u sobre el eje de
las X, aquí está la proyección de u sobre el eje de las Y, en forma conjunta tenemos
los componentes de u; este es el producto escalar y la noción de proyección