ahora vamos a hablar acerca de cómo podemos entender mejor el producto escalar
en un sentido geométrico; si recuerdan el producto escalar involucra a 2 vectores,
aquí los llamamos u y v, etiqueté el ángulo, el ángulo más pequeño entre estos
2 vectores como Theta; hay una identidad muy linda que voy a escribir aquí que
relaciona el producto escalar de u y v con ese ángulo Theta, entre esos dos vectores
u multiplicado por v, es igual a la norma de u multiplicado por la norma de v por el
coseno del ángulo entre los 2 vectores, si tuvieron trigonometría, el coseno es una
función muy conocida en trigonometría y el coseno básicamente relaciona los bordes en
un triángulo recto a este ángulo de referencia Theta, y toda clase de números
que conocemos, no nos preocuparemos por los detalles del coseno, de la función
coseno por ahora; voy a hacer un llamado de atención aquí, el producto escalar
básicamente cuantifica o mide, cuán bien alienados están 2 vectores, o podemos
decir cuán similares son 2 vectores
consideremos algunos casos para ilustrar el punto, estas nociones; 3 casos vamos a
ver; el nro 1, queremos cuantificar cuán bien alineados están 2 vectores, es el
caso más simple, cómo serían esos vectores si estuvieran completamente alineados, en
otras palabras, si el vector u y el vector v fueran paralelos, esto nos muestra cuan
bien alineados pueden estar estos 2 vectores; bueno este es el caso en el que
el ángulo entre estos 2 vectores es de grado 0, son totalmente paralelos
y veamos cuáles son las implicancias de nuestra identidad que vimos recientemente
u mutiplicado por v es la norma de u por la norma de v por el coseno 0 grados, el
coseno de 0 grados de la trigonometría es 1, entonces el producto escalar de 2
vectores que están totalmente alineados, en otras palabras son paralelos, es
simplemente el producto de las normas, el producto de las longitudes de esos
vectores
bueno, pero qué significa todo esto? bueno recordarán de trigonometría que el coseno
es un número entre -1 y 1, en otras palabras este es el máximo valor en un
sentido positivo, el valor positivo máximo que el producto escalar puede tener, si es
que estos 2 vectores están totalmente alineados, este es el máximo positivo de a
esto tiene coherencia con esta noción de aquí, si los vectores están completamente
alineados entonces el producto escalar es un máximo positivo, están muy bien
alineados, tenemos un número positivo bien grande; consideremos ahora un par más de
casos; nuestro 2do caso es el opuesto del anterior, en efecto u y v van en
direcciones opuestas, es el caso opuesto uno puede decir que aquí estos vectores
son antiparalelos y si lo pensamos el ángulo entre estos dos vectores es de 180
grados, van en direcciones opuestas, veamos cuales son las ramificaciones del
producto escalar, el producto escalar otra vez por la identidad es la norma de u por
la norma de v por el coseno de 180 y por trigonometría el coseno de 180 es igual a
-1; entonces el producto escalar de u y v cuando nuestros vectores están apuntando
en diferentes direcciones es igual al negativo de la norma de u por la norma de
v; ok, otra vez el coseno va entre -1 y 1 entonces cuando los vectores son
antiparalelos el producto escalar es un gran número negativo, en otro sentido es
el máximo negativo posible, y otra vez esto cuadra con la idea de que el producto
escalar nos permite evaluar cuan bien alineados están 2 vectores, el
desalineamiento total nos muestra un número negativo muy grande
un 3er caso natural que vamos a ver es el que nos muestra que pasa en el medio entre
vectores paralelos y antiparalelos; estos son los vectores que se encuentran en un
ángulo recto; en otras palabras nuestro ángulo Theta entre los 2 vectores será de
90 grados en este caso y el producto escalar, otra vez usando la identidad de
arriba, es la norma de u por la norma de v por el coseno de 90 grados, el coseno de
90, por trigonometría es igual a 0, en este caso el producto escalar de u y v es
igual a 0, justo la mitad; cuando son paralelos tenemos un número positivo bien
grande, cuando son antiparalelos, apuntan en direcciones opuestas, tenemos un número
bien grande negativo y cuando se encuentran en el medio, el producto
escalar es igual a 0, cuando se encuentran en un ángulo recto; esta noción es muy
importante para trabajar con matrices y con lo que se llama "álgebra lineal", tan
importante de hecho que el producto escalar, cuando es 0, tiene un nombre
especial, estos vectores son llamados ortogonales; ortogonales en un sentido
geométrico simplemente quiere decir que los 2 vectores se cruzan en un ángulo
recto, específicamente la definición del producto escalar cuando es 0 se denominan
a los vectores, ortogonales. Hay que mencionar también, hay muchos casos que no
incluí aquí, pero que no son difíciles de ver y es una clase de comportamiento de la
función coseno, que pasa si en vez de estar en alguno de estos 3 casos
patológicos, qué pasa si los ángulos son cercanos, si tienen un número pequeño y
positivo? cuál será el producto escalar? bueno, el coseno en estos casos será un
número pequeño y positivo, entonces si los vectores están muy alineados pero no
completamente, como en el caso cuando son paralelos, entonces el producto escalar es
un número pequeño y positivo, ese valor positivo nos muestra que están
relativamente alineados; por el otro lado si el ángulo entre los 2 vectores, digamos
en este caso que es obtuso, en otras palabras es más grande que 90, bueno si
sabemos algo sobre el coseno, podemos saber que el coseno va a ser negativo, por
lo que el producto escalar será negativo, será más pequeño que cuando son
antiparalelos, pero sin embargo el signo negativo nos denota que no están
totalmente sincronizados, son desiguales en ese sentido
esta es nuestra conexión básica entre el producto escalar y una muy importante y
fundamental interpretación en el sentido geométrico, el producto escalar nos
muestra, por esta identidad, cómo quedan alineados los 2 vectores