ok, sigamos adelante y hablemos de la 
próxima operación con vectores que se

llama el producto escalar; el producto
escalar implica una operación entre 2

vectores, es una operación binaria por ese
motivo y como necesitamos 2 vectores los

etiqueté como en el último ejemplo u y v y
para hacerlo eficiente, vamos a decir que

son vectores de 2 dimensiones, ahí están 
las etiquetas y los componentes de u y v

respectivamente; la forma en que 
escribimos el producto escalar, decimos u

. v, el punto queda en el medio; la 
definición básica del producto escalar es

que se multiplican los componentes, los
componentes de X se multiplican juntos y

se suman al producto del componente Y; en
un nivel de detalle u es a1, b1

multiplicado por el vector v que es a2, 
b2, otra vez, cuando hago un producto

escalar multiplico por componente, 
entonces me queda a1 * a2 y luego sumo a

ese producto, el producto del componente Y
que es b1 * b2; es importante que noten

que comienzo con "manzanas" y "manzanas" 
en otras palabras empiezo con 2 cosas

iguales, vectores, pero el resultado del
producto escalar aquí no es un nuevo

vector, sino un escalar, noten ésto; esto
es un escalar, por qué es un escalar?

bueno es el producto de números reales, 
todos los componentes son números reales

que se suman juntos, por lo tanto eso
resulta en un nuevo número real, en otras

palabras un nuevo escalar

otra pregunta que naturalmente surge es,
cómo puedo extender esta definición a

otras dimensiones; en otras palabras, si
tengo vectores de 3 dimensiones y quiero

realizar el producto escalar, tengo que
multiplicar el componente X todo junto, el

componente Y y luego el componente Z y 
luego hacer la suma de todos estos

productos que me dará el resultado del
producto escalar que, otra vez, es siempre

un escalar y así sucesivamente para 
vectores de más dimensiones

ok, hagamos un ejemplo rápido, un ejemplo
numérico para que podamos verlo en acción

defino el vector u y el vector v, usemos
los mismos vectores que la otra vez, ahora

voy a calcular el producto escalar de 
estos 2 vectores, 1, 2 multiplicado por 2,

0; y multiplico los componentes en forma
conjunta, primero los componentes de X, 1

por 2 es 2 y lo sumo al producto del 
componente Y, obtengo 0, entonces 2 + 0 es

2, ahí está nuestro valor escalar de 
nuestro producto escalar

El producto escalar en términos 
geométricos incorpora ángulos como veremos

en un momento y también magnitud o la
longitud del vector

discutamos la magnitud por un segundo y
veamos como se relaciona con el producto

escalar; bueno la magnitud o la longitud 
de un vector, veamos como la defino, en

primer lugar, nuestro vector, otra vez, v
está en el plano

digamos que v consiste de estos dos 
componentes como dijimos antes y la

notación que usamos aquí para la longitud
o la magnitud se llama siempre la norma

del vector en su forma más común, la norma
de v, que es simplemente un número,

significa la longitud del vector v, la 
norma de ese vector, como puedo hallarla

en forma algebraica? bueno puedo pensar en
dibujar un triángulo rectángulo aquí y

digamos que los componentes usan estos
subvalores, los componentes son a y b en

forma respectiva para v, el componente X y
el componente Y de v, cómo puedo encontrar

la longitud de esa magnitud de ese vector,
la norma de ese vector? bueno es un caso

simple de geometría, dibujé este triángulo
en base a v, entonces la longitud de este

lado largo, la hipotenusa del triángulo
rectángulo, debido al teorema de Pitágoras

y que es la raíz cuadrada de la suma de 
los cuadrados de los componentes de ese

vector, todos hemos escuchado de a al 
cuadrado más b al cuadrado que es igual a

c al cuadrado, bueno aquí está el 
resultado, en forma equivalente, para los

vectores, aquí tenemos la norma de la
longitud de un vector, ahora les voy a

mostrar como podemos conectar esto con el
producto escalar, hay una linda identidad,

que voy a escribir acá, que dice que la
norma de un vector al cuadrado es igual a

al producto escalar de ese vector con sí
mismo

como podemos ver eso desde esta definición
bueno aquí está la definición de la norma,

aquí está la definición del producto 
escalar y elevo al cuadrado a ambos lados

de esta ecuación, que lo que obtengo? es
la norma de v elevada al cuadrado por

definición, cuando elevo al cuadrado a la
raíz cuadrada, deshago uno y otro, son

operaciones inversas y obtengo a al 
cuadrado más b al cuadrado, bueno hagamos

una suerte de prueba del modelo que 
tenemos aquí, si hago el producto escalar

de v con sí mismo, por definición es poner
a, b multiplicado por sí mismo, a, b, que

es la definición de mi producto escalar, 
puedo multiplicar los componentes y luego

sumo los productos y van a notar que a por
a es igual a a al cuadrado, b por b es b

al cuadrado, aquí es donde convergen, es
una linda y veloz respuesta del producto

escalar relacionado con la magnitud de los
vectores, así que otra vez, aquí tenemos

una linda y muy común identidad de 
vectores, la norma del vector elevada al

cuadrado es el producto escalar de ese
vector con sí mismo y otra vez la

definición de la norma es la raíz cuadrada
de los componentes elevados al cuadrado de

ese vector y un último comentario, si
quisiera extender la definición de la

norma o longitud del vector de más 
dimensiones, otra vez, la extensión en

forma natural y matemática, tomo la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de

todos los componentes, entonces podría
haber un componente c, lo pondría dentro

del radical como más c al cuadrado, si es
que usé esa letra para etiquetar ese

componente c; aquí tenemos la base del
producto escalar