ok, sigamos adelante y hablemos de la próxima operación con vectores que se
llama el producto escalar; el producto escalar implica una operación entre 2
vectores, es una operación binaria por ese motivo y como necesitamos 2 vectores los
etiqueté como en el último ejemplo u y v y para hacerlo eficiente, vamos a decir que
son vectores de 2 dimensiones, ahí están las etiquetas y los componentes de u y v
respectivamente; la forma en que escribimos el producto escalar, decimos u
. v, el punto queda en el medio; la definición básica del producto escalar es
que se multiplican los componentes, los componentes de X se multiplican juntos y
se suman al producto del componente Y; en un nivel de detalle u es a1, b1
multiplicado por el vector v que es a2, b2, otra vez, cuando hago un producto
escalar multiplico por componente, entonces me queda a1 * a2 y luego sumo a
ese producto, el producto del componente Y que es b1 * b2; es importante que noten
que comienzo con "manzanas" y "manzanas" en otras palabras empiezo con 2 cosas
iguales, vectores, pero el resultado del producto escalar aquí no es un nuevo
vector, sino un escalar, noten ésto; esto es un escalar, por qué es un escalar?
bueno es el producto de números reales, todos los componentes son números reales
que se suman juntos, por lo tanto eso resulta en un nuevo número real, en otras
palabras un nuevo escalar
otra pregunta que naturalmente surge es, cómo puedo extender esta definición a
otras dimensiones; en otras palabras, si tengo vectores de 3 dimensiones y quiero
realizar el producto escalar, tengo que multiplicar el componente X todo junto, el
componente Y y luego el componente Z y luego hacer la suma de todos estos
productos que me dará el resultado del producto escalar que, otra vez, es siempre
un escalar y así sucesivamente para vectores de más dimensiones
ok, hagamos un ejemplo rápido, un ejemplo numérico para que podamos verlo en acción
defino el vector u y el vector v, usemos los mismos vectores que la otra vez, ahora
voy a calcular el producto escalar de estos 2 vectores, 1, 2 multiplicado por 2,
0; y multiplico los componentes en forma conjunta, primero los componentes de X, 1
por 2 es 2 y lo sumo al producto del componente Y, obtengo 0, entonces 2 + 0 es
2, ahí está nuestro valor escalar de nuestro producto escalar
El producto escalar en términos geométricos incorpora ángulos como veremos
en un momento y también magnitud o la longitud del vector
discutamos la magnitud por un segundo y veamos como se relaciona con el producto
escalar; bueno la magnitud o la longitud de un vector, veamos como la defino, en
primer lugar, nuestro vector, otra vez, v está en el plano
digamos que v consiste de estos dos componentes como dijimos antes y la
notación que usamos aquí para la longitud o la magnitud se llama siempre la norma
del vector en su forma más común, la norma de v, que es simplemente un número,
significa la longitud del vector v, la norma de ese vector, como puedo hallarla
en forma algebraica? bueno puedo pensar en dibujar un triángulo rectángulo aquí y
digamos que los componentes usan estos subvalores, los componentes son a y b en
forma respectiva para v, el componente X y el componente Y de v, cómo puedo encontrar
la longitud de esa magnitud de ese vector, la norma de ese vector? bueno es un caso
simple de geometría, dibujé este triángulo en base a v, entonces la longitud de este
lado largo, la hipotenusa del triángulo rectángulo, debido al teorema de Pitágoras
y que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes de ese
vector, todos hemos escuchado de a al cuadrado más b al cuadrado que es igual a
c al cuadrado, bueno aquí está el resultado, en forma equivalente, para los
vectores, aquí tenemos la norma de la longitud de un vector, ahora les voy a
mostrar como podemos conectar esto con el producto escalar, hay una linda identidad,
que voy a escribir acá, que dice que la norma de un vector al cuadrado es igual a
al producto escalar de ese vector con sí mismo
como podemos ver eso desde esta definición bueno aquí está la definición de la norma,
aquí está la definición del producto escalar y elevo al cuadrado a ambos lados
de esta ecuación, que lo que obtengo? es la norma de v elevada al cuadrado por
definición, cuando elevo al cuadrado a la raíz cuadrada, deshago uno y otro, son
operaciones inversas y obtengo a al cuadrado más b al cuadrado, bueno hagamos
una suerte de prueba del modelo que tenemos aquí, si hago el producto escalar
de v con sí mismo, por definición es poner a, b multiplicado por sí mismo, a, b, que
es la definición de mi producto escalar, puedo multiplicar los componentes y luego
sumo los productos y van a notar que a por a es igual a a al cuadrado, b por b es b
al cuadrado, aquí es donde convergen, es una linda y veloz respuesta del producto
escalar relacionado con la magnitud de los vectores, así que otra vez, aquí tenemos
una linda y muy común identidad de vectores, la norma del vector elevada al
cuadrado es el producto escalar de ese vector con sí mismo y otra vez la
definición de la norma es la raíz cuadrada de los componentes elevados al cuadrado de
ese vector y un último comentario, si quisiera extender la definición de la
norma o longitud del vector de más dimensiones, otra vez, la extensión en
forma natural y matemática, tomo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de
todos los componentes, entonces podría haber un componente c, lo pondría dentro
del radical como más c al cuadrado, si es que usé esa letra para etiquetar ese
componente c; aquí tenemos la base del producto escalar