ok, hablemos ahora de la suma de vectores, la siguiente operación con vectores que vamos a ver, a diferencia de la multiplicación por un escalar, cuando tomamos un escalar y un vector y los manipulamos, aquí vamos a tomar a dos vectores, dos cosas iguales y las vamos a sumar; entonces etiquetemos todo lo que tenemos aquí; tenemos dos vectores, u y v y para hacer las cosas claras y eficientes digamos que ambos son de 2 dimensiones vamos a etiquetar sus componentes, así podemos definir las cosas, voy a decir que el vector u se compone de a1, b1 y el vector v se compone de a2 y b2 ok, la primera pregunta es cómo hago para sumar vectores en forma algebraica? bueno simplemente vamos a sumar los componentes de los vectores; lo que quiero decir con eso es que si tenemos a1 y b1 y v es a2, b2, cuando sumo los vectores lo hago con los componentes, el nuevo componente será a1 + a2 y el nuevo componente "Y" de este vector resultante será b1 + b2, eso es todo y un aspecto interesante de esta definición es que puede extenderse a vectores con muchas más dimensiones, por ejemplo si u y v pertenecieran a R al cubo yo sumaría los componentes respectivos para obtener el vector resultante y esto es lo mismo para vectores de muchas dimensiones veamos un ejemplo rápido con algunos números para que quede bien claro, tenemos el vector u que tiene 1 y 2 como componentes y el vector v al que llamamos 2 y 0 y ahora voy a sumar estos 2 vectores lo hago por componente, 1 + 2 es 3, 2 + 0 es 2, aquí está mi vector resultante, u + v; ok, para que estas ideas tengan sentido y conecten bien con la interpretación geométrica, dibujemos una figura de la suma de vectores mi vector u, lo dibujamos así, este es el vector u(1,2) aproximadamente y el vector v; bueno puedo poner el vector v donde quiera en el plano, el modo en que definimos la suma de vectores en un sentido geométrico es alineando los vectores, cabeza con cola, cabeza con cola en orden, voy a alinear este con u en primer lugar y luego con v y el vector resultante cuando los sumo juntos tiene un punto inicial, queda alineado con el punto inicial del primer vector u y su punto terminal queda alineado con el punto terminal del segundo vector v; en otras palabras, este vector en azul es mi vector resultante, geométricamente es u + v la suma tiene una propiedad muy linda y es que el orden no importa, 1 + 2 es lo mismo que 2 + 1, por ejemplo; bueno esta propiedad se extiende a los vectores, en otras palabras u + v es igual a v + u y el orden opuesto, esta propiedad es conocida como la propiedad conmutativa de la suma de vectores; en otras palabras el orden en el que sume los vectores no tiene importancia; por qué es ésto verdad? bueno en un sentido básico, esta propiedad se hereda del hecho de que cuando sumo números reales el orden no importa; esta es una linda propiedad que deberíamos ver reflejada geométricamente, entonces cómo puedo escribir v + u? bueno arreglo los vectores en forma geométrica, cabeza con cola, cabeza con cola, pero ahora empezando con v, si recuerdan v, puedo dibujar el vector equivalente 2, 0 en cualquier lugar en el plano, mientras tenga la misma dirección y la misma magnitud; veamos esto; dibujemos v aquí, así queda mi vector v y le voy a sumar el vector u aquí, que también transporté, como podemos ver v + u por definición geométrica tiene un punto inicial en el vector que comienza v y un punto terminal en el vector final que ahora es u y por supuesto sí obtenemos el mismo vector resultante; este es un lindo dibujo que a veces se llama la ley del paralelogramo de la suma de vectores, en otras palabras si dibujo un paralelograma, usando vectores u y v como los ejes, la diagonal de ese paralelogramo representa la suma de los 2 vectores u + v