ok, hablemos ahora de la suma de vectores, la siguiente operación con vectores que
vamos a ver, a diferencia de la multiplicación por un escalar, cuando
tomamos un escalar y un vector y los manipulamos, aquí vamos a tomar a dos
vectores, dos cosas iguales y las vamos a sumar; entonces etiquetemos todo lo que
tenemos aquí; tenemos dos vectores, u y v y para hacer las cosas claras y eficientes
digamos que ambos son de 2 dimensiones
vamos a etiquetar sus componentes, así podemos definir las cosas, voy a decir que
el vector u se compone de a1, b1 y el vector v se compone de a2 y b2
ok, la primera pregunta es cómo hago para sumar vectores en forma algebraica? bueno
simplemente vamos a sumar los componentes de los vectores; lo que quiero decir con
eso es que si tenemos a1 y b1 y v es a2, b2, cuando sumo los vectores lo hago con
los componentes, el nuevo componente será a1 + a2 y el nuevo componente "Y" de este
vector resultante será b1 + b2, eso es todo
y un aspecto interesante de esta definición es que puede extenderse a
vectores con muchas más dimensiones, por ejemplo si u y v pertenecieran a R al cubo
yo sumaría los componentes respectivos para obtener el vector resultante y esto
es lo mismo para vectores de muchas dimensiones
veamos un ejemplo rápido con algunos números para que quede bien claro, tenemos
el vector u que tiene 1 y 2 como componentes y el vector v al que llamamos
2 y 0 y ahora voy a sumar estos 2 vectores lo hago por componente, 1 + 2 es 3, 2 + 0
es 2, aquí está mi vector resultante, u + v; ok, para que estas ideas tengan sentido
y conecten bien con la interpretación geométrica, dibujemos
una figura de la suma de vectores
mi vector u, lo dibujamos así, este es el vector u(1,2) aproximadamente y el vector
v; bueno puedo poner el vector v donde quiera en el plano, el modo en que
definimos la suma de vectores en un sentido geométrico es alineando los
vectores, cabeza con cola, cabeza con cola en orden, voy a alinear este con u en
primer lugar y luego con v y el vector resultante cuando los sumo juntos tiene
un punto inicial, queda alineado con el punto inicial del primer vector u y su
punto terminal queda alineado con el punto terminal del segundo vector v; en otras
palabras, este vector en azul es mi vector resultante, geométricamente es u + v
la suma tiene una propiedad muy linda y es que el orden no importa, 1 + 2 es lo mismo
que 2 + 1, por ejemplo; bueno esta propiedad se extiende a los vectores, en
otras palabras u + v es igual a v + u y el orden opuesto, esta propiedad es conocida
como la propiedad conmutativa de la suma de vectores; en otras palabras el orden en
el que sume los vectores no tiene importancia; por qué es ésto verdad? bueno
en un sentido básico, esta propiedad se hereda del hecho de que cuando sumo
números reales el orden no importa; esta es una linda propiedad que deberíamos ver
reflejada geométricamente, entonces cómo puedo escribir v + u? bueno arreglo los
vectores en forma geométrica, cabeza con cola, cabeza con cola, pero ahora
empezando con v, si recuerdan v, puedo dibujar el vector equivalente 2, 0 en
cualquier lugar en el plano, mientras tenga la misma dirección y la misma
magnitud; veamos esto; dibujemos v aquí, así queda mi vector v y le voy a sumar el
vector u aquí, que también transporté, como podemos ver v + u por definición
geométrica tiene un punto inicial en el vector que comienza v y un punto terminal
en el vector final que ahora es u y por supuesto sí obtenemos el mismo vector
resultante; este es un lindo dibujo que a veces se llama la ley del paralelogramo de
la suma de vectores, en otras palabras si dibujo un paralelograma, usando vectores u
y v como los ejes, la diagonal de ese paralelogramo representa la suma de los 2
vectores u + v