ahora que ya vimos algunos cosas básicas sobre vectores, veamos ahora algo de
operaciones con vectores; antes de comenzar con las operaciones con vectores
hagamos un listado que muestre porqué los vectores son tan útiles en el contexto de
la construcción de modelos matemáticos, para los estudiantes los vectores son
objetos comunes que se ven usualmente, no en matemáticas sino en las clases de
física o de ingeniería; les voy a dar un ejemplo de vectores y como se pueden usar
para modelar fenómenos del mundo real, una de esas formas es, supongamos que tengo
una masa, en el sentido físico del término tengo esta masa que está apoyada en una
superficie en una tabla o lo que tengamos como el piso y puedo hablar de las fuerzas
que están actuando sobre esta masa, en un sentido hay, por supuesto, gravedad,
podemos decir que la fuerza de gravedad, que presiona a esta masa para abajo hacia
la superficie de la tierra; esta fuerza, que puedo describir con un vector al que
voy a llamar F con una flecha encima, como vimos en la notación hace un rato y la
dirección de ese vector, recuerden que un vector tiene dirección y magnitud, la
dirección de esta fuerza en particular, la gravedad, irá para abajo hacia la
superficie de la tierra, y puedo dibujar la longitud de la magnitud de ese vector y
expresar la magnitud de esa fuerza y eso es típicamente descripto en unidades como
newtons en física
podemos también hacer que este dibujo sea un poco más interesante, puedo decir que
hay otra fuerza aquí, llamémosla una fuerza que escribimos como vector v aquí
y digamos que hay una persona que está empujando esa masa usando una soga y
entonces esta fuerza estará moviendo la masa hacia la derecha, podemos hacernos la
siguiente pregunta: cual es la fuerza total que están actuando sobre esa masa?
la respuesta a una pregunta como esa requiere que impongamos algunas
operaciones básicas de matemática o álgebra que involucran vectores
entonces qué significa sumar estos 2 vectores juntos, eso es hacer la pregunta
cuál es la fuerza total que se está aplicando a esta masa, a este objeto, es
todo acerca de las operaciones que se hacen, por encima de todo
hablando en forma general, hay 4 operaciones prevalentes que se realizan
con vectores
en esta subunidad, voy a hablar sobre la multiplicación escalar y sobre la suma de
vectores y vamos a ver las otras 2 operaciones con vectores en breve,
avancemos pues,
con cada una de estas operaciones voy a explicar, es importante verlo, en dos
formas, una forma geométrica y otra algebraica; ok la primera de estas
operaciones se denomina multiplicación escalar
y lo primero que diremos es qué significa escalar; escalar es aquí simplemente un
número, digamos que es un número Real, así que lo escribimos con una "c" y por
supuesto sabemos que un vector es una entidad que tiene dimensiones, podemos
decir que nuestro vector vive en R al cuadrado; entonces qué es la
multiplicación escalar? bueno es operar con un escalar y un vector en forma
conjunta, es una operación binaria y es leída típicamente de esta forma, les doy
la notación y para que quede completo, digamos que nuestro vector consiste de,
otra vez, 2 componentes, a y b en ese orden; entonces escribimos la
multiplicación escalar poniendo al escalar al lado del vector, no dibujo ningún punto
ni ningún símbolo de multiplicación entre ellos como se hace típicamente; ahora voy
a expandir esta notación, c multiplicado por el vector compuesto de a y b; bueno la
definición, la definición algebraica de una multiplicación escalar dice que
simplemente distribuimos el escalar en cada componente del vector, en otras
palabras tengo c multiplicado por a coma c multiplicado por b, ahí está la definición
algebraica de la multiplicación por escalares; veamos un ejemplo simple
si tengo este escalar, digamos 2 multiplicado por el vector 1 coma 3
una vez más distribuyo el 2 entre los componentes del vector, una matemática muy
simple, 2 por 1 es 2, 2 por 3 es 6; ahí está mi vector nuevo, el vector resultante
de la multiplicación por un escalar; ahora quiero preguntarles qué significa en
términos geométricos? brevemente cuando hacemos una multiplicación por escalares,
lo que hace es "escalar" el vector como su nombre lo indica, va a cambiar la
magnitud, pero no la dirección del vector dibujemos una imagen para ver qué es lo
que está pasando aquí
en términos geométricos, empezamos con nuestro vector v, lo llamo vector v en
nuestro ejemplo, 1 y 3, que implica que sobre el eje de las X es 1, el tamaño del
valor del componente sobre nuestro eje Y es 3, dibujo ese vector en una posición
estándar, es decir que emerge desde el origen, aquí tenemos al vector v
entonces, qué significa escalar ese vector en 2, bueno lo que sucede aquí es que
mantenemos la dirección del vector original, pero multiplicamos la longitud o
magnitud del vector, voy a tratar de hacer lo mejor posible para dibujar y escalar,
pero aquí vemos en azul el vector 2 v, ahora es el doble de la longitud del
vector original, pero mantiene la misma dirección, sigue manteniendo el ángulo
theta que no ha cambiado. Al multiplicar por 2 estiré el vector original por un
factor de 2, por el otro lado si multiplico el vector por un valor escalar
de 1/2, entonces resultará en un vector con la mitad de la longitud y seguirá
manteniendo la misma dirección; qué es lo que pasa si multiplico al vector por,
digamos, un escalar negativo; voy a usar el mismo ejemplo de vector, bueno
algebraicamente distribuyo ese escalar entre los componentes y lo que obtengo
aquí es el mismo vector que el original, pero ahora apuntando en la dirección
opuesta, otra vez aquí está mi vector v, v negativo, que se refleja desde el origen y
apunta en la dirección opuesta; en forma similar si multiplico por 2 negativo, va a
dar vuelta la orientación, va a apuntar en la dirección opuesta, pero aún escalará
por el valor 2, será el vector v por 2 negativo