Comencemos con la noción general acerca de qué es un vector y hablemos de la notación
típica que se usa con vectores,
para escribir o denotar un vector, lo llamaremos vector "v", por ejemplo,
vamos a denotar un vector mediante una flecha arriba de la letra, como es usual,
y lo que les voy a mostrar aquí es lo que se llama notación de "llaves", así podemos
escribir un vector y los elementos de ese vector en orden, este será un vector de 2
dimensiones y los elementos que se listan dentro de las llaves se denominan
componentes, son los componentes de ese vector
debido a que este es un vector de 2 dimensiones, podemos usar la notación que
usamos previamente y poner que este vector es un elemento de R al cuadrado,
implicando que estos dos componentes son números Reales, por ejemplo, ok? estos son
los titulares a y b; en forma similar, puedo definir un vector de 3 dimensiones,
también usando la notación de las llaves, etiqueto los componentes como a, b y c
respectivamente y debido a que es un vector de 3 dimensiones, vamos a decir que
este vector vive en R al cubo; estos son los fundamentos básicos de la notación
algebraica para vectores; quiero también hacer que esta notación sea coherente con
una interpretación geométrica, que es usual con vectores; cómo puedo entender un
vector en un sentido geométrico? bueno un vector es un objeto, un objeto matemático
que tiene tanto "dirección" como "magnitud", aquí tenemos una básica
interpretación geométrica, es una flecha con una dirección
y una magnitud
son las características que definen a un vector
qué queremos decir con dirección y magnitud? bueno, la dirección, pueden
pensar en un ángulo que la defina, en función del eje de las X, lo vamos a
llamar Theta, como es usual con vectores pueden pensar en este vector que dibujé en
el plano; aquí está mi eje X y aquí mi eje Y, por supuesto, este vector tiene un
ángulo asociado que define su dirección y la magnitud de ese vector es simplemente
su longitud; aquí tenemos la noción algebraica de un vector, podemos escribir
con la notación de las llaves, simplemente listando los componentes en orden, podemos
darnos cuenta que un vector en su sentido geométrico es una flecha en un plano o en
un espacio 3D, con una dirección y una magnitud, veamos como se vería en 3D,
extendamos las cosas en forma intuitiva, geométricamente, tengo un eje X, un eje Y
necesito 3 ejes, por supuesto, para definir un espacio 3D, esta es una imagen
de R al cubo y cuando quiero definir un vector, digamos por ejemplo que queremos
definir el vector 1, 2, 3 eso quiere decir que me tengo que mover en la dirección de
las X con una alcance de 1, en la dirección de las Y con un alcance de 2 y
en la dirección de las Z con un alcance de 3; otra vez es difícil de dibujar en un
espacio 3D, pero ustedes pueden imaginar que aquí está la sombra de ese punto y acá
está mi vector en R al cubo, hay una flecha que sale del origen
tenemos un vector debido a que posee una dirección, típicamente especificamos donde
comienza, esto se llama el punto inicial del vector, en este caso es un vector con
su punto inicial en el origen, y en este punto termina o como se dice en forma
habitual, el punto terminal del vector, ok empezamos en el punto inicial por supuesto
apuntando en la dirección del punto terminal, que define la dirección del
vector; una pequeña pieza más de notación cuando un vector se inicia en el origen, o
su punto inicial está en el origen, ese vector está en lo que se denomina la
posición estándar y uno de los aspectos más lindos de los vectores, que los hacen
matemáticamente consistentes, es que puedo tomar cualquier vector, digamos el vector
B, hice lo mejor que pude para crear una copia carbónica de ese vector B, puedo
mover ese vector a cualquier lugar del espacio, en el plano por ejemplo
y si bien no tienen el mismo punto de partida y el mismo punto final, tienen sin
embargo la misma dirección, digamos que tienen el mismo ángulo Theta y la misma
magnitud, es decir la misma longitud, entonces cuando creo una copia carbónica
de los vectores que están dispersos en algún lugar del espacio, estos 2 vectores
se denominan vectores equivalentes, en otras palabras son matemáticamente
idénticos y un aspecto atractivo de los vectores es que cuando realizo cálculos,
cuando hago matemáticas con vectores, que es algo que vamos a ver en unos momentos,
no tiene importancia donde coloco al vector, en otras palabras, lo que llamo el
origen, las matemáticas serán consistentes obtendremos resultados similares para
vectores equivalentes; ok, resumiendo un vector básicamente, para los propósitos
que tenemos aquí, es una flecha con una dirección y una magnitud, puedo expresar
un vector con una flecha sobre él, que denota que tiene dimensiones y en un
sentido algebraico simplemente listo los componentes de ese vector en orden
a, b, este es un vector de 2 dimensiones, este es un vector de 3 dimensiones que
vive en R al cubo y de forma similar puedo dibujar un vector en R al cuadrado, en R
al cubo para capturar la misma idea