La teoría de conjuntos es un tema muy rico
e interesante en sí mismo y las muchas

fórmulas, identidades, nuevas respuestas y
propiedades asociadas con la teoría de

conjuntos que debemos tener en cuenta y 
que se autocontiene simplemente usando

conjuntos. No tenemos el tiempo para poder
ver todas estas cosas debido al propósito

de este curso; sin embargo quiero darles
una pequeña muestra de cómo se ve una

identidad en término de conjuntos; una de
las identidades más conocidas es algo que

se llama "Ley de De Morgan" y la Ley de De
Morgan viene en pares, es decir que hay 2

variantes de ella, que son complementarias
como veremos en un momento, una versión de

la Ley de De Morgan se ve como esto: si
tomamos el Complemento de la Unión de A

Unión con B, esto es igual o equivalente 
a la Intersección del Complemento de A y

del Complemento de B; por el otro lado, la
versión alternativa de la Ley de De Morgan

se ve como esto, básicamente invertimos 
ese operador Booleano, tomamos ahora el

Complemento de la Intersección de A y B y
otra vez preservamos el patrón que va a la

derecha, básicamente; el Complemento de 
los conjuntos y damos vuelta la operación

que está dentro del paréntesis, así nos
queda la Unión del Complemento de A y del

Complemento de B. Uno puede usar esto 
cuando se quiere probar teoremas

matemáticos o para calcular resultados en
lógica, como se hace usualmente

La Ley de De Morgan y sus resultados son,
básicamente,

una comprensión de la lengua, 
intuitivamente, vamos a ver como podemos

interpretarlo. Notemos qué pasa con esta
versión de la Ley de De Morgan; cuando

tomo el Complemento de la Unión de dos
conjuntos, obtengo la Intersección de sus

respectivos complementos; representemos 
este conjunto A como una expresión;

digamos que va a representar, por ejemplo,
la idea de que está lloviendo o el evento

de que está lloviendo y digamos que B
va a representar el evento "tengo que ir

al trabajo"; qué significa esto en 
términos lógicos? "está lloviendo",

recuerden que la Unión puede ser vista
como el conector "O", entonces "está

lloviendo" "O" "tengo que ir al trabajo",
cuál es el Complemento o la negación de

"está lloviendo" "O" "tengo que ir al 
trabajo"; el complemento funciona así por

la Ley de De Morgan, entonces dirá que "No
está lloviendo" "Y" "No tengo que ir al

trabajo", veámoslo una vez más

El Complemento o la Negación de "Está
lloviendo" "O" "Tengo que ir al trabajo"

es "No está lloviendo" "Y" "No tengo que
ir al trabajo"

Ambos eventos fallan o ambos valores 
fallan; aquí hay un sentido intuitivo de

como podemos entender mejor algo como la
Ley de De Morgan, que, otra vez, es una

identidad muy común en la Teoría de 
Conjuntos

Quiero terminar aquí definiendo una última
operación entre conjuntos y un operador

que se llama "Producto Cartesiano" de
conjuntos

"Cartesiano" refiere aquí a Descartes, el
fundador de la Geometría Analítica, un

filósofo francés y la definición es 
relativamente simple, dados dos conjuntos

A y B, voy a tomar el producto cartesiano
o se puede decir simplemente el producto

la definición indica que es el conjunto de
todos los pares ordenados (a,b) tal que a

el elemento de la izquierda viene del 
primer conjunto (el conjunto de la

izquierda) y b, el elemento de la derecha
viene del segundo conjunto o el conjunto

de la derecha, ahí tenemos la definición
del Producto Cartesiano de dos conjuntos

veamos un ejemplo simple y numérico

digamos que el conjunto A contiene los
elementos 1 y 2 y B contiene los elementos

3 y 4; cuál será el Producto Cartesiano de
A y B? otra vez apareo, empecemos con el

elemento 1 del par de A, 1 contra cada 
elemento en B, 1 con 3 es un elemento en

este Producto Cartesiano, en forma similar
1 con 4 es otro elemento de este producto

con esto termino el primero y paso al
segundo elemento de A, en este caso es 2,

2 se aparea, en forma similar, con 3 y 2
puede ser apareado con 4; notemos que la

medida, lo que se denomina "Cardinalidad"
del conjunto A es 2, hay 2 elementos en él

la medida del conjunto B es también 2 y la
medida del Producto Cartesiano es 2 * 2

para todos los elementos juntos. Por
extensión puedo en forma similar definir

el Producto Cartesiano de 3 conjuntos, A,
B y C, con su definición general,

el conjunto de todos los tripletes, a, b 
y c tal que el primer elemento viene del

conjunto A, el siguiente elemento viene 
del conjunto B y el elemento final viene

del último conjunto C

Veamos un ejemplo importante donde se usa
el Producto Cartesiano en relación con los

números Reales, que vimos anteriormente,
recordemos que los Reales fueron definidos

como la Unión de los números Racionales y
los Irracionales, y el aspecto geométrico

importante de los Reales es que cuando los
grafico, obtengo una línea sólida sin

ningún hueco; entonces qué es lo que 
sucede si tomo los números Reales y los

cruzo con los números Reales, el Producto
Cartesiano de los números Reales, bueno

puedo acotar eso poniendo R elevado al
cuadrado y por definición esto es el

conjunto de todos los pares ordenados, a y
b donde a y b son números Reales, cuál es

el significado geométrico de eso? esto no 
es otra cosa que, seguro que están

familiarizados con esto; el plano de 2
dimensiones, con los ejes X e Y, en otras

palabras si identifico las coordenadas de
X e Y, yo puedo en forma unívoca ubicar

ese punto en el plano, en forma similar si
tomo el producto de R con sí mismo pero 3

veces, el producto completo de R, obtengo
R al cubo, como se dice usualmente y por

definición, una vez más, es el conjunto de
todos los tripletes, a, b y c, donde las

coordenadas a, b y c son, cada una, 
números Reales; cuál es el significado de

R al cubo? por supuesto R al cubo añade 
otra dimensión a nuestro plano, así ahora

tenemos un espacio de 3D, un eje X, un eje
Y y un eje Z; en forma similar puedo

identificar cualquier punto en forma 
unívoca en ese espacio explicitando en que

coordenadas X, Y y Z está. La belleza de
las matemáticas es esta amplia generalidad

yo puedo describir estas formas 
matemáticamente como el producto de R con

si mismo pero 4 veces; aquí la intuición 
nos abandona; no podemos imaginar las 4

dimensiones, pero a veces es hecho tomando
las 3 dimensiones y agregando al tiempo

pero si queremos un ejemplo más extremo, 
puedo hablar de 10, 20 o 1 millón, eso

sería un punto con 1 millón de coordenadas
nos referiremos a R a la n, R a la n será

nuestra base, cuando hablamos de vectores
y matrices y ese tipo de cosas; R a la n

es simplemente n copias, aquí está la 
dimensión, n copias enteras de R, nos

referimos a un vector, etiquetamos las
coordenadas aquí, X1 a Xn

tal que, cada coordenada, a las que llamo
en forma general xi es un número Real,

aquí tenemos el fundamento para poder
movernos en Rn, se llama el espacio

vectorial de n dimensiones, a veces se lo
denomina también el espacio euclidiano de

n dimensiones y como pueden imaginar,
tomando estos productos cartesianos uno

puede tener una cosa de n dimensiones