La teoría de conjuntos es un tema muy rico e interesante en sí mismo y las muchas
fórmulas, identidades, nuevas respuestas y propiedades asociadas con la teoría de
conjuntos que debemos tener en cuenta y que se autocontiene simplemente usando
conjuntos. No tenemos el tiempo para poder ver todas estas cosas debido al propósito
de este curso; sin embargo quiero darles una pequeña muestra de cómo se ve una
identidad en término de conjuntos; una de las identidades más conocidas es algo que
se llama "Ley de De Morgan" y la Ley de De Morgan viene en pares, es decir que hay 2
variantes de ella, que son complementarias como veremos en un momento, una versión de
la Ley de De Morgan se ve como esto: si tomamos el Complemento de la Unión de A
Unión con B, esto es igual o equivalente a la Intersección del Complemento de A y
del Complemento de B; por el otro lado, la versión alternativa de la Ley de De Morgan
se ve como esto, básicamente invertimos ese operador Booleano, tomamos ahora el
Complemento de la Intersección de A y B y otra vez preservamos el patrón que va a la
derecha, básicamente; el Complemento de los conjuntos y damos vuelta la operación
que está dentro del paréntesis, así nos queda la Unión del Complemento de A y del
Complemento de B. Uno puede usar esto cuando se quiere probar teoremas
matemáticos o para calcular resultados en lógica, como se hace usualmente
La Ley de De Morgan y sus resultados son, básicamente,
una comprensión de la lengua, intuitivamente, vamos a ver como podemos
interpretarlo. Notemos qué pasa con esta versión de la Ley de De Morgan; cuando
tomo el Complemento de la Unión de dos conjuntos, obtengo la Intersección de sus
respectivos complementos; representemos este conjunto A como una expresión;
digamos que va a representar, por ejemplo, la idea de que está lloviendo o el evento
de que está lloviendo y digamos que B va a representar el evento "tengo que ir
al trabajo"; qué significa esto en términos lógicos? "está lloviendo",
recuerden que la Unión puede ser vista como el conector "O", entonces "está
lloviendo" "O" "tengo que ir al trabajo", cuál es el Complemento o la negación de
"está lloviendo" "O" "tengo que ir al trabajo"; el complemento funciona así por
la Ley de De Morgan, entonces dirá que "No está lloviendo" "Y" "No tengo que ir al
trabajo", veámoslo una vez más
El Complemento o la Negación de "Está lloviendo" "O" "Tengo que ir al trabajo"
es "No está lloviendo" "Y" "No tengo que ir al trabajo"
Ambos eventos fallan o ambos valores fallan; aquí hay un sentido intuitivo de
como podemos entender mejor algo como la Ley de De Morgan, que, otra vez, es una
identidad muy común en la Teoría de Conjuntos
Quiero terminar aquí definiendo una última operación entre conjuntos y un operador
que se llama "Producto Cartesiano" de conjuntos
"Cartesiano" refiere aquí a Descartes, el fundador de la Geometría Analítica, un
filósofo francés y la definición es relativamente simple, dados dos conjuntos
A y B, voy a tomar el producto cartesiano o se puede decir simplemente el producto
la definición indica que es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tal que a
el elemento de la izquierda viene del primer conjunto (el conjunto de la
izquierda) y b, el elemento de la derecha viene del segundo conjunto o el conjunto
de la derecha, ahí tenemos la definición del Producto Cartesiano de dos conjuntos
veamos un ejemplo simple y numérico
digamos que el conjunto A contiene los elementos 1 y 2 y B contiene los elementos
3 y 4; cuál será el Producto Cartesiano de A y B? otra vez apareo, empecemos con el
elemento 1 del par de A, 1 contra cada elemento en B, 1 con 3 es un elemento en
este Producto Cartesiano, en forma similar 1 con 4 es otro elemento de este producto
con esto termino el primero y paso al segundo elemento de A, en este caso es 2,
2 se aparea, en forma similar, con 3 y 2 puede ser apareado con 4; notemos que la
medida, lo que se denomina "Cardinalidad" del conjunto A es 2, hay 2 elementos en él
la medida del conjunto B es también 2 y la medida del Producto Cartesiano es 2 * 2
para todos los elementos juntos. Por extensión puedo en forma similar definir
el Producto Cartesiano de 3 conjuntos, A, B y C, con su definición general,
el conjunto de todos los tripletes, a, b y c tal que el primer elemento viene del
conjunto A, el siguiente elemento viene del conjunto B y el elemento final viene
del último conjunto C
Veamos un ejemplo importante donde se usa el Producto Cartesiano en relación con los
números Reales, que vimos anteriormente, recordemos que los Reales fueron definidos
como la Unión de los números Racionales y los Irracionales, y el aspecto geométrico
importante de los Reales es que cuando los grafico, obtengo una línea sólida sin
ningún hueco; entonces qué es lo que sucede si tomo los números Reales y los
cruzo con los números Reales, el Producto Cartesiano de los números Reales, bueno
puedo acotar eso poniendo R elevado al cuadrado y por definición esto es el
conjunto de todos los pares ordenados, a y b donde a y b son números Reales, cuál es
el significado geométrico de eso? esto no es otra cosa que, seguro que están
familiarizados con esto; el plano de 2 dimensiones, con los ejes X e Y, en otras
palabras si identifico las coordenadas de X e Y, yo puedo en forma unívoca ubicar
ese punto en el plano, en forma similar si tomo el producto de R con sí mismo pero 3
veces, el producto completo de R, obtengo R al cubo, como se dice usualmente y por
definición, una vez más, es el conjunto de todos los tripletes, a, b y c, donde las
coordenadas a, b y c son, cada una, números Reales; cuál es el significado de
R al cubo? por supuesto R al cubo añade otra dimensión a nuestro plano, así ahora
tenemos un espacio de 3D, un eje X, un eje Y y un eje Z; en forma similar puedo
identificar cualquier punto en forma unívoca en ese espacio explicitando en que
coordenadas X, Y y Z está. La belleza de las matemáticas es esta amplia generalidad
yo puedo describir estas formas matemáticamente como el producto de R con
si mismo pero 4 veces; aquí la intuición nos abandona; no podemos imaginar las 4
dimensiones, pero a veces es hecho tomando las 3 dimensiones y agregando al tiempo
pero si queremos un ejemplo más extremo, puedo hablar de 10, 20 o 1 millón, eso
sería un punto con 1 millón de coordenadas nos referiremos a R a la n, R a la n será
nuestra base, cuando hablamos de vectores y matrices y ese tipo de cosas; R a la n
es simplemente n copias, aquí está la dimensión, n copias enteras de R, nos
referimos a un vector, etiquetamos las coordenadas aquí, X1 a Xn
tal que, cada coordenada, a las que llamo en forma general xi es un número Real,
aquí tenemos el fundamento para poder movernos en Rn, se llama el espacio
vectorial de n dimensiones, a veces se lo denomina también el espacio euclidiano de
n dimensiones y como pueden imaginar, tomando estos productos cartesianos uno
puede tener una cosa de n dimensiones