Conectemos estas dos operaciones booleanas que estuvimos viendo, la Unión y la Intersección de conjuntos, con la sección previa en la que hablamos de los conjuntos de números más comunes, los Reales, los Racionales y así sucesivamente Recordemos que dijimos que los números Reales, denominados con la letra R, podemos preguntarnos cuál es la intersección entre los Reales y los Racionales? podemos recordar, del diagrama de Venn de la sección previa que los Racionales son un subconjunto de los Reales, en otras palabras, está contenido completamente en el conjunto de los Reales por poner la pregunta de cuál es la intersección de estos dos conjuntos, debemos decir, cuál es el conjunto de todos los elementos en común tanto en los Reales como en los Racionales; por diseño aquí con nuestro diagrama de Venn podemos ver que los Racionales están contenidos completamente dentro de los Reales, entonces ahí tenemos el conjunto en común de los números Reales y Racionales cuando intersectan Por el otro lado podemos preguntarnos cuál es la Unión de los Reales y (tomemos un conjunto diferente) y los Enteros ok, otra vez, puedo decir que aquí están los Enteros, los Enteros se encuentran dentro de los Racionales que a su vez se encuentran dentro de los Reales, entonces para ver la Unión de los Reales y los Enteros tengo que preguntar colectivamente cuál es el conjunto de todos los elementos en ambos, los Reales o (este es el operador) los Enteros. La respuesta es que los Reales, debido a que los Reales son un superconjunto de los Enteros; hay un conjunto especial, en la teoría de conjuntos y que se denomina el conjunto vacío y lo escribimos como un cero tachado se denomina "conjunto vacío" y como pueden adivinar es, por definición, el conjunto con ningún elemento; entonces conjunto con ningún elemento lo primero que surge y que puede sonar extraño es por qué tenemos que molestarnos en hablar de un conjunto sin elementos, cuál es el uso que puede dársele? como les dije hace un momento, el conjunto vacío se usa de la misma forma que el número 0 en nuestro sistema de números usual, en otras palabras, nos sirve para tener una identidad; ahora les voy a mostrar como funciona por ejemplo si tenemos un conjunto A, volvamos a nuestro Universo de 1, 2, 3 y 4 pongamos que el conjunto A tiene los elementos 1, 2 y 3 y que el conjunto B tiene los elementos 4 y 5; si dibujo un diagrama de Venn que me muestre las relaciones entre A y B; tengo acá a A y acá a B; no se superponen, no comparten ningún elemento y cuando 2 conjuntos no se superponen, se denominan "desarticulados" o se puede decir también que son mutuamente exclusivos. Este caso, la intersección de A y B, porque no hay una intersección de la que podamos hablar, es simplemente el conjunto vacío Veamos ahora como el conjunto vacío opera como un elemento de identidad con respecto a conjuntos y a operaciones booleanas Si tengo la Unión del conjunto vacío con cualquier conjunto, podemos referirnos a nuestro conjunto A, no hace ninguna diferencia, esta propiedad será verdadera para todos los conjuntos, tomemos la Unión del conjunto vacío y A, cuál es el conjunto de todos los elementos que se encuentran tanto en el conjunto vacío o en el conjunto A? bueno el conjunto vacío es vacío por definición entonces el conjunto de los elementos en común entre el vacío o A es simplemente igual a A, ok; quiero puntualizar aquí el paralelismo con el número 0, uno puede pensar, otra vez, el conjunto vacío opera como el 0; pensemos en la Unión como un "más" y podemos pensar en a, con una letra minúscula y que puede ser cualquier número Real, por supuesto cuando sumo 0 a cualquier número, cualquier número real, obtengo ese número nuevamente "a"; entonces el conjunto vacío en ese sentido funciona como una identidad con respecto a los conjuntos y a las operaciones booleanas aquí en la Unión. En forma inversa si tengo el conjunto vacío y hago una Intersección con cualquier conjunto o con el conjunto A en particular debido a que el conjunto vacío es vacío por definición, no hay elementos en común a ambos conjuntos y eso produce el conjunto vacío cuando hago una Intersección con cualquier otro conjunto otra vez puedo concebir que el conjunto vacío está actuando como un Cero, ahora podemos pensar en la Intersección como en una operación de multiplicación y el conjunto A podemos reducirlo a un solo elemento, un número "a"; si tomamos el cero y lo multiplicamos por cualquier número por Cero, por supuesto obtengo Cero nuevamente, aquí otra vez vemos una linda analogía con el número Cero en nuestro sistema común de números Otra operación con conjuntos que podemos describir en forma sucinta, es algo que se llama el "Complemento" de los conjuntos, el Complemento de los conjuntos en lenguaje llano es básicamente la negación del conjunto, cualquier cosa que NO está en un conjunto en particular Escribimos al Complemento de un conjunto, digamos otra vez A, usamos un súperindice con una "c" y leemos esto como Complemento de A; la definición intuitiva, otra vez, del Complemento es cualquier cosa en nuestro Universo, pero que no está en el conjunto A; lo escribo en forma consistente usando la notación de conjuntos, entonces el Complemento, por definición, es todo x tal que x pertenece a nuestro Universo, pero x no está en el conjunto A, en este caso, esa es la definición del Complemento; una vez más podemos iluminar esa definición con un diagrama de Venn simple; aquí está nuestro Universo, vemos que tenemos el conjunto A y el Complemento es, entonces, todo aquello que está por fuera de A, pero aún en nuestro Universo, aquí hay un dibujo del Complemento como un diagrama de Venn, o nuestro ejemplo particular, podemos poner el Complemento de A, otra vez es todo aquello que no está en A pero sí en el Universo, 1, 2, 3 en A, no hay nada consistente en 4 y 5, de la misma forma el Complemento de B, es todo lo que no está en B, pero sí en el Universo, es el conjunto, el triplete 1, 2 y 5