Conectemos estas dos operaciones booleanas que estuvimos viendo, la Unión y la
Intersección de conjuntos, con la sección previa en la que hablamos de los conjuntos
de números más comunes, los Reales, los Racionales y así sucesivamente
Recordemos que dijimos que los números Reales, denominados con la letra R,
podemos preguntarnos cuál es la intersección entre los Reales y los
Racionales? podemos recordar, del diagrama de Venn de la sección previa que los
Racionales son un subconjunto de los Reales, en otras palabras, está contenido
completamente en el conjunto de los Reales
por poner la pregunta de cuál es la intersección de estos dos conjuntos,
debemos decir, cuál es el conjunto de todos los elementos en común tanto en los
Reales como en los Racionales; por diseño aquí con nuestro diagrama de Venn podemos
ver que los Racionales están contenidos completamente dentro de los Reales,
entonces ahí tenemos el conjunto en común de los números Reales y Racionales cuando
intersectan
Por el otro lado podemos preguntarnos cuál es la Unión de los Reales y (tomemos un
conjunto diferente) y los Enteros
ok, otra vez, puedo decir que aquí están los Enteros, los Enteros se encuentran
dentro de los Racionales que a su vez se encuentran dentro de los Reales, entonces
para ver la Unión de los Reales y los Enteros tengo que preguntar colectivamente
cuál es el conjunto de todos los elementos en ambos, los Reales o (este es el
operador) los Enteros. La respuesta es que los Reales, debido a que los Reales son un
superconjunto de los Enteros; hay un conjunto especial, en la teoría de
conjuntos y que se denomina el conjunto vacío y lo escribimos como un cero tachado
se denomina "conjunto vacío"
y como pueden adivinar
es, por definición, el conjunto con ningún elemento; entonces conjunto con ningún
elemento
lo primero que surge y que puede sonar extraño es por qué tenemos que molestarnos
en hablar de un conjunto sin elementos, cuál es el uso que puede dársele? como les
dije hace un momento, el conjunto vacío se usa de la misma forma que el número 0 en
nuestro sistema de números usual, en otras palabras, nos sirve para tener una
identidad; ahora les voy a mostrar como funciona
por ejemplo si tenemos un conjunto A, volvamos a nuestro Universo de 1, 2, 3 y 4
pongamos que el conjunto A tiene los elementos 1, 2 y 3 y que el conjunto B
tiene los elementos 4 y 5; si dibujo un diagrama de Venn que me muestre las
relaciones entre A y B; tengo acá a A y acá a B; no se superponen, no comparten
ningún elemento
y cuando 2 conjuntos no se superponen, se denominan "desarticulados" o se puede
decir también que son mutuamente exclusivos. Este caso, la intersección de
A y B, porque no hay una intersección de la que podamos hablar, es simplemente el
conjunto vacío
Veamos ahora como el conjunto vacío opera como un elemento de identidad con respecto
a conjuntos y a operaciones booleanas
Si tengo la Unión del conjunto vacío con cualquier conjunto, podemos referirnos a
nuestro conjunto A, no hace ninguna diferencia, esta propiedad será verdadera
para todos los conjuntos, tomemos la Unión del conjunto vacío y A, cuál es el
conjunto de todos los elementos que se encuentran tanto en el conjunto vacío o en
el conjunto A? bueno el conjunto vacío es vacío por definición
entonces el conjunto de los elementos en común entre el vacío o A es simplemente
igual a A, ok; quiero puntualizar aquí el paralelismo con el número 0, uno puede
pensar, otra vez, el conjunto vacío opera como el 0; pensemos en la Unión como un
"más" y podemos pensar en a, con una letra minúscula y que puede ser cualquier número
Real, por supuesto cuando sumo 0 a cualquier número, cualquier número real,
obtengo ese número nuevamente "a"; entonces el conjunto vacío en ese sentido
funciona como una identidad con respecto a los conjuntos y a las operaciones
booleanas aquí en la Unión. En forma inversa si tengo el conjunto vacío y hago
una Intersección con cualquier conjunto o con el conjunto A en particular
debido a que el conjunto vacío es vacío por definición, no hay elementos en común
a ambos conjuntos y eso produce el conjunto vacío cuando hago una
Intersección con cualquier otro conjunto otra vez puedo concebir que el conjunto
vacío está actuando como un Cero, ahora podemos pensar en la Intersección como en
una operación de multiplicación y el conjunto A podemos reducirlo a un solo
elemento, un número "a"; si tomamos el cero y lo multiplicamos por cualquier
número por Cero, por supuesto obtengo Cero nuevamente, aquí otra vez vemos una linda
analogía con el número Cero en nuestro sistema común de números
Otra operación con conjuntos que podemos describir en forma sucinta, es algo que se
llama el "Complemento" de los conjuntos, el Complemento de los conjuntos en
lenguaje llano es básicamente la negación del conjunto, cualquier cosa que NO está
en un conjunto en particular
Escribimos al Complemento de un conjunto, digamos otra vez A, usamos un súperindice
con una "c" y leemos esto como Complemento de A; la definición intuitiva, otra vez,
del Complemento es cualquier cosa en nuestro Universo, pero que no está en el
conjunto A; lo escribo en forma consistente usando la notación de
conjuntos, entonces el Complemento, por definición, es todo x tal que x pertenece
a nuestro Universo, pero x no está en el conjunto A, en este caso, esa es la
definición del Complemento; una vez más podemos iluminar esa definición con un
diagrama de Venn simple; aquí está nuestro Universo, vemos que tenemos el conjunto A
y el Complemento es, entonces, todo aquello que está por fuera de A, pero aún
en nuestro Universo, aquí hay un dibujo del Complemento como un diagrama de Venn,
o nuestro ejemplo particular, podemos poner el Complemento de A, otra vez es
todo aquello que no está en A pero sí en el Universo, 1, 2, 3 en A, no hay nada
consistente en 4 y 5, de la misma forma el Complemento de B, es todo lo que no está
en B, pero sí en el Universo, es el conjunto, el triplete 1, 2 y 5