Hola, esta es una clase breve y especial y
lo que voy a hacer en esta clase es

mostrarles es que hay un número infinito 
de números primos, en otras palabras vamos

a probar la infinitud de los primos. Esto 
es honestamente una de las joyas de la

historia de las matemáticas y de la 
historia de las ciencias y como veremos en

un momento, una de las herramientas más
antiguas; vamos a probar, de hecho, que

hay un número infinito de números primos
Y como fue dicho esta prueba va hacia

atrás, hacia alguien llamado Euclides,
quien es considerado el fundador o uno de

los fundadores de la geometría y esta
prueba viene al menos desde el 300 AC

Empecemos con la definición de qué es un
número primo. Un número primo, que

comienza con el número 2 y que es un 
Entero igual o más grande que 2 que sólo

puede dividirse por 1 o por sí mismo. Por
ejemplo 2 es el número primo más pequeño

3 es el primo siguiente en la secuencia de
primos, 5 es el siguiente, 7, 11, 13 y así

sigue y lo que quiero saber, por ejemplo 
si el número 9, que no está en esta lista,

que se llama "compuesto" porque es 
divisible por 3, no sólo es divisible por

1 y sí mismo. La técnica de prueba que 
vamos a usar es algo que se llama "prueba

por contradicción"

Lo que vamos a hacer es probar la 
afirmación de que hay un número infinito

de primos; lo que queremos, digamos, 
mostrar es que hay un número infinito de

primos; pongamos primos infinitos

la forma de probar por contradicción es 
que va hacia atrás, la primera vez que uno

lo ve, vamos en realidad a asumir que la
afirmación es falsa y luego tratar de

llegar a alguna contradicción inherente,
en otras palabras, queremos mostrar que

hay un número infinito de primos, lo que
vamos a asumir, por el contrario, es que

bien, que no hay un número infinito de
primos, en otras palabras hay un número

finito de primos, asumimos que hay un
número finito de primos y vamos a mostrar

lógicamente, que ésto no puede ser, en 
otras palabras, vamos a llegar a una

contradicción

y debido a que llegamos a una 
contradicción, eso nos va a mostrar

inversamente que debe existir un número
infinito de primos. Algo que queremos

afirmar

al que llamamos afirmación A, y luego 
vamos a asumir que esa afirmación no se

sostiene y luego llegaremos a una 
contradicción y eso nos va a mostrar que A

tiene que ser verdadero, por contradicción
es algo muy ingenioso, entonces vamos ya a

realizarlo. Ok vamos a asumir que existe 
un número finito de primos, vamos a probar

la infinitud de los primos por 
contradicción; entonces si tenemos un

número finito de primos entonces puedo
enumerarlos, los voy a llamar P1, P2, P3..

Pn, hasta llegar a un número finito; 
ahora vamos a introducir este "paso

inteligente" que define un nuevo número al
que vamos a llamar P☆ y lo voy a definir

como el producto de todos los primos, otra
vez asumimos que los primos son finitos y

ahora lo importante que es sumarle 1. La
pregunta que quiero hacer es: consideremos

a P☆, es P☆ un primo? o es compuesto?; o 
bien tiene que ser primo o compuesto, no

hay nada en el medio, bueno consideremos
si es primo; puedo afirmar que esta P☆

no puede ser primo; la razón de que no 
pueda ser primo es que podemos notar que

cuando obtengo el producto de todos los 
primos y luego le sumo un 1, obtengo un

número que es más grande que cualquier
número en esta lista y esa lista era la

lista total de los primos, son un número
finito, entonces ese P☆ que es primo debe

ser más grande que cualquier primo en la
lista conocida y eso es una contradicción

no puede ser primo porque ya listamos 
todos los primos y no está en esa lista,

entonces P☆ no puede ser primo; entonces
se sigue que P es compuesto pero vamos a

ver que hay un problema con la afirmación
de que P☆ es compuesto; voy a mencionar un

pequeño resultado que necesitamos aquí 
para que sea más completo; hay algo que se

denomina el Teorema Fundamental de la
Aritmética, abreviado (TFA); yo lo voy a

parafrasear, pero el Teorema Fundamental 
de la Aritmética dice básicamente que cada

número entero es divisible por un número
primo y en verdad yo puedo decir, que

esto viene desde la escuela, cualquier
número puede ser escrito como el producto

de dos primos, esa factorización se 
denomina la factorización de un número por

un primo, por ejemplo 21 que es un número
compuesto, lo puedo escribir multiplicando

3 x 7, ahí esta la factorización de los 
primos del entero 21, entonces el teorema

fundamental de la aritmética dice que, 
otra vez, cualquier número entero es

divisible por un primo

P☆ no es un primo, por lo que tiene que 
ser compuesto; si es compuesto, entonces

es un número entero, esencialmente, y
entonces tiene que ser divisible por un

primo, ah, pero tenemos un problema aquí,
debido a que P☆ no es divisible por

construcción por ningún primo, porque
cuando divido por un primo aquí, cualquier

número que no sea primo, tengo este resto
que es 1, entonces P☆ es entonces también

no compuesto, ok pero qué significa todo
esto? veámoslo juntos

nosotros asumimos, por contradicción, que
hay un número finito de primos; puedo

enumerar todos esos primos; luego 
construimos un nuevo número llamado P☆,

que se define como el producto de todos 
estos primos más 1; luego nos hacemos la

pregunta: es P☆ primo o es compuesto? 
tiene que ser uno o el otro, no hay punto

intermedio; no puede ser primo debido a 
que P☆ es más grande que cualquiera de los

primos listados previamente; no puede ser
primo, entonces debe ser compuesto, pero

miremos, tampoco puede ser compuesto 
porque debido al Teorema Fundamental de la

Aritmética o Factorización de Primos, cada
número entero es divisible por un primo y

P☆ tiene un resto de 1 cuando lo divido 
por un primo; entonces qué hacemos?

tenemos un número que no es ni primo ni
compuesto; eso es una contradicción

y es la línea de golpeo de la prueba

lo que asumimos es que hay un número 
finito de primos

de ese supuesto llegamos una contradicción
irresoluble; tenemos un número que no es

ni primo ni compuesto, esa contradicción
implica que nuestro supuesto del comienzo

es falso y por lo tanto hay un número
infinito de primos y así concluye la

prueba