Hola, esta es una clase breve y especial y lo que voy a hacer en esta clase es
mostrarles es que hay un número infinito de números primos, en otras palabras vamos
a probar la infinitud de los primos. Esto es honestamente una de las joyas de la
historia de las matemáticas y de la historia de las ciencias y como veremos en
un momento, una de las herramientas más antiguas; vamos a probar, de hecho, que
hay un número infinito de números primos Y como fue dicho esta prueba va hacia
atrás, hacia alguien llamado Euclides, quien es considerado el fundador o uno de
los fundadores de la geometría y esta prueba viene al menos desde el 300 AC
Empecemos con la definición de qué es un número primo. Un número primo, que
comienza con el número 2 y que es un Entero igual o más grande que 2 que sólo
puede dividirse por 1 o por sí mismo. Por ejemplo 2 es el número primo más pequeño
3 es el primo siguiente en la secuencia de primos, 5 es el siguiente, 7, 11, 13 y así
sigue y lo que quiero saber, por ejemplo si el número 9, que no está en esta lista,
que se llama "compuesto" porque es divisible por 3, no sólo es divisible por
1 y sí mismo. La técnica de prueba que vamos a usar es algo que se llama "prueba
por contradicción"
Lo que vamos a hacer es probar la afirmación de que hay un número infinito
de primos; lo que queremos, digamos, mostrar es que hay un número infinito de
primos; pongamos primos infinitos
la forma de probar por contradicción es que va hacia atrás, la primera vez que uno
lo ve, vamos en realidad a asumir que la afirmación es falsa y luego tratar de
llegar a alguna contradicción inherente, en otras palabras, queremos mostrar que
hay un número infinito de primos, lo que vamos a asumir, por el contrario, es que
bien, que no hay un número infinito de primos, en otras palabras hay un número
finito de primos, asumimos que hay un número finito de primos y vamos a mostrar
lógicamente, que ésto no puede ser, en otras palabras, vamos a llegar a una
contradicción
y debido a que llegamos a una contradicción, eso nos va a mostrar
inversamente que debe existir un número infinito de primos. Algo que queremos
afirmar
al que llamamos afirmación A, y luego vamos a asumir que esa afirmación no se
sostiene y luego llegaremos a una contradicción y eso nos va a mostrar que A
tiene que ser verdadero, por contradicción es algo muy ingenioso, entonces vamos ya a
realizarlo. Ok vamos a asumir que existe un número finito de primos, vamos a probar
la infinitud de los primos por contradicción; entonces si tenemos un
número finito de primos entonces puedo enumerarlos, los voy a llamar P1, P2, P3..
Pn, hasta llegar a un número finito; ahora vamos a introducir este "paso
inteligente" que define un nuevo número al que vamos a llamar P☆ y lo voy a definir
como el producto de todos los primos, otra vez asumimos que los primos son finitos y
ahora lo importante que es sumarle 1. La pregunta que quiero hacer es: consideremos
a P☆, es P☆ un primo? o es compuesto?; o bien tiene que ser primo o compuesto, no
hay nada en el medio, bueno consideremos si es primo; puedo afirmar que esta P☆
no puede ser primo; la razón de que no pueda ser primo es que podemos notar que
cuando obtengo el producto de todos los primos y luego le sumo un 1, obtengo un
número que es más grande que cualquier número en esta lista y esa lista era la
lista total de los primos, son un número finito, entonces ese P☆ que es primo debe
ser más grande que cualquier primo en la lista conocida y eso es una contradicción
no puede ser primo porque ya listamos todos los primos y no está en esa lista,
entonces P☆ no puede ser primo; entonces se sigue que P es compuesto pero vamos a
ver que hay un problema con la afirmación de que P☆ es compuesto; voy a mencionar un
pequeño resultado que necesitamos aquí para que sea más completo; hay algo que se
denomina el Teorema Fundamental de la Aritmética, abreviado (TFA); yo lo voy a
parafrasear, pero el Teorema Fundamental de la Aritmética dice básicamente que cada
número entero es divisible por un número primo y en verdad yo puedo decir, que
esto viene desde la escuela, cualquier número puede ser escrito como el producto
de dos primos, esa factorización se denomina la factorización de un número por
un primo, por ejemplo 21 que es un número compuesto, lo puedo escribir multiplicando
3 x 7, ahí esta la factorización de los primos del entero 21, entonces el teorema
fundamental de la aritmética dice que, otra vez, cualquier número entero es
divisible por un primo
P☆ no es un primo, por lo que tiene que ser compuesto; si es compuesto, entonces
es un número entero, esencialmente, y entonces tiene que ser divisible por un
primo, ah, pero tenemos un problema aquí, debido a que P☆ no es divisible por
construcción por ningún primo, porque cuando divido por un primo aquí, cualquier
número que no sea primo, tengo este resto que es 1, entonces P☆ es entonces también
no compuesto, ok pero qué significa todo esto? veámoslo juntos
nosotros asumimos, por contradicción, que hay un número finito de primos; puedo
enumerar todos esos primos; luego construimos un nuevo número llamado P☆,
que se define como el producto de todos estos primos más 1; luego nos hacemos la
pregunta: es P☆ primo o es compuesto? tiene que ser uno o el otro, no hay punto
intermedio; no puede ser primo debido a que P☆ es más grande que cualquiera de los
primos listados previamente; no puede ser primo, entonces debe ser compuesto, pero
miremos, tampoco puede ser compuesto porque debido al Teorema Fundamental de la
Aritmética o Factorización de Primos, cada número entero es divisible por un primo y
P☆ tiene un resto de 1 cuando lo divido por un primo; entonces qué hacemos?
tenemos un número que no es ni primo ni compuesto; eso es una contradicción
y es la línea de golpeo de la prueba
lo que asumimos es que hay un número finito de primos
de ese supuesto llegamos una contradicción irresoluble; tenemos un número que no es
ni primo ni compuesto, esa contradicción implica que nuestro supuesto del comienzo
es falso y por lo tanto hay un número infinito de primos y así concluye la
prueba