Cùng tiếp tục thảo luận về những tập hợp số chung mà chúng ta vừa nói. Tập hợp các số nguyên, ký hiệu Z hoa và tập hợp các số hữu tỉ. Cách khác, tập hợp các phân số ký hiệu Q hoa Vậy có gì nằm ngoài miền số hữu tỉ không? những gì không phải phân số là gì? một trong những con số nổi tiếng nhất không phải số hữu tỉ là pi Pi có những đặc điểm đặc biệt ? chúng ta biết pi= 3.1415 ... một trong những điểm đặc biệt của pi là phần thập phân vô tận tức là không bao giờ hết và không lặp lại cũng có thể nói không trùng Vậy, sự phân bố của các số ở phần thập phân của pi là ngẫu nhiên tôi không thể chuyển pi thành phân số của một số nguyên với một số nguyên khác vậy nếu một số không thể biểu diễn theo cách này nếu không biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ thì là số vô tỉ. Pi là một số vô tỉ. Có một số không thuộc Q , Nếu đánh dấu bằng biểu đồ Venn pi nằm ở khoảng này. Bạn có thể thấy số e, cũng là một số đặc biệt trong toán học và khoa học, là 2.7... cũng có những đặc điểm này phần thập phân vô tận, không lặp vậy e cũng là số vô tỉ e nằm ở đây Thực tế có vô số số vô tỉ Tôi chứng minh thế nào? có vô số số vô tỉ? Nếu bạn tính căn của một số nguyên tố thì được số vô tỉ phần thập phân không lặp và vô tận 2 là một số nguyên tố Số nguyên tố là một số nguyên > hoặc = 2 chỉ chia hết cho 1 và chính nó vậy căn b 2 của số n tố là số vô tỉ có vô số số nguyên tố. Đến đây chưa hẳn đã rõ phải không ? Chúng ta không có tiên đề đó thực ra tôi đang giảng thêm về Euclid có vô số số nguyên tố nếu xét cả 2 điều kiện này thì chứng minh có vô số số vô tỉ Hãy xem nhé nếu có vô số số nguyên tố với căn bậc 2 là số vô tỉ thì đó là lý do có vô số số vô tỉ. Một cách chứng minh khác bằng chứng 1 rằng có vô số tập hợp số vô tỉ bằng chứng 2 nói một cách "phức tạp" có vô số số vô tỉ. điều tôi vừa nói là phần phân số của số ảo không lặp và vô tận ngược lại vì tôi đang xây dựng biểu diễn phần thập phân không lặp vô tận Vậy có bao nhiêu? Đếm không xuể nhưng có vô số chuỗi thập phân Ví dụ, có thể tung đồng xu hoặc tính bằng máy một số ngẫu nhiên và tùy vào kết quả tung đồng xu, hay gì cũng được Tôi có 1 số Có bao nhiêu số thập phân? có vô số cách để biểu diễn một chuỗi thập phân vô hạn như vậy có vô số số vô tỉ, vì có vô số cách biểu diễn phần thập phân. Từ đây chúng ta xét đến tập hợp tiếp theo quan trọng nhất trong các tập hợp là số thực Tập hợp thực gồm các số hữu tỉ và, một cách không chính thức số vô tỉ. Lưu ý. Tập hợp thực là quan trọng nhất và thường dùng nhất trong hệ thống và khoa học ứng dụng Vậy khi tính là làm việc với số thực khi làm đại số tuyến tính tích phân cũng là làm việc với số thực Đôi khi các tập hợp khác, nhưng nói chung tập số thực hoặc tập con của nó Có thể nói là tổng hợp 2 tập này vậy tôi có thể thêm một vòng tròn vào biểu đồ Venn biểu diễn các chuỗi số hay gặp. giờ ta có số thực là tập hợp lớn nhất nếu vẽ một đường thực thì sẽ được đường thẳng, quan trọng là không đứt đoạn mặt khác, nếu vẽ tất cả số thực trên đường đó thì có nhiều lỗ hổng đây là một kết quả hay dùng của tóan rằng giữa 2 số hữu tỉ là 1 số vô tỉ Tập hợp thực cho chúng ta một miền kín không có lỗ hổng tức là khi biểu diễn tôi có, quan trọng là một chuỗi liên tục nếu biểu diễn số thực thì được chuỗi liên tục vậy nếu tôi theo dõi chuyển động của 1 vật hay 1 phân tử trong không gian? hãy tưởng tượng ta thấy phân tử chuyển động và theo dõi nó và nó đi theo đường này nó bắt đầu ở phía dưới, bên trái đi sang phải khi nó chuyển động, thời gian trôi qua Vậy cách chúng ta quan sát chuyển động cũng còn hơi gây tranh cãi nhưng cách hiểu được chấp nhận là tôi quan sát chuyển động một cách liên tục Như vậy các nhà toán học và khoa học có thể dùng mô hình biểu diễn sự chuyển động liên tục này nói khác đi, chúng ta có thể dùng một hệ thống số liên tục các bạn đã nghe về không-thời gian liên tục chứ? tôi sẽ không đi quá xa đề nhưng chúng ta sống trong một không-thời gian liên tục và hệ thống số chúng ta sử dụng để biểu diễn là liên tục đơn giản là để làm rõ hơn với những ai đã biết phương pháp tính và phương trình và, tại sao không? chúng ta có phương trình thường trong phương pháp tính phương trình liên tục? chúng có những tính chất đặc biệt nếu dùng một phương trình liên tục mô hình chuyển động của phân tử, chúng ta dùng nó cùng với miền xác định của phương trình liên tục và được một mô hình liên tục nói chung đó là một các biểu hiện điển hình của hiện tượng sống.