Cùng tiếp tục thảo luận về
những tập hợp số chung
mà chúng ta vừa nói.
Tập hợp các số nguyên, ký hiệu
Z hoa
và tập hợp các số hữu tỉ.
Cách khác, tập hợp các phân số
ký hiệu Q hoa
Vậy có gì nằm ngoài miền
số hữu tỉ không?
những gì không phải phân số
là gì?
một trong những con số nổi tiếng
nhất không phải số hữu tỉ
là pi
Pi có những đặc điểm đặc biệt
?
chúng ta biết pi=
3.1415 ...
một trong những điểm đặc biệt của pi
là phần thập phân vô tận
tức là không bao giờ hết
và không lặp lại
cũng có thể nói không trùng
Vậy, sự phân bố của các số
ở phần thập phân của pi
là ngẫu nhiên
tôi không thể chuyển pi thành phân số
của một số nguyên
với một số nguyên khác
vậy nếu một số không thể
biểu diễn theo cách này
nếu không biểu diễn
dưới dạng số hữu tỉ
thì là số vô tỉ.
Pi là một số vô tỉ.
Có một số không thuộc Q
,
Nếu đánh dấu bằng biểu đồ Venn
pi nằm ở khoảng này.
Bạn có thể thấy số e,
cũng là một số đặc biệt trong toán học
và khoa học, là 2.7...
cũng có những đặc điểm này
phần thập phân
vô tận, không lặp
vậy e cũng là số vô tỉ
e nằm ở đây
Thực tế có vô số
số vô tỉ
Tôi chứng minh thế nào?
có vô số số vô tỉ?
Nếu bạn tính căn
của một số nguyên tố
thì được số vô tỉ
phần thập phân
không lặp và vô tận
2 là một số
nguyên tố
Số nguyên tố
là một số nguyên
> hoặc = 2
chỉ chia hết cho 1 và chính nó
vậy căn b 2 của số n tố
là số vô tỉ
có vô số số nguyên tố.
Đến đây chưa hẳn đã rõ phải không
?
Chúng ta không có tiên đề đó
thực ra tôi đang giảng
thêm về Euclid
có vô số số nguyên tố
nếu xét cả 2 điều kiện này
thì chứng minh
có vô số số vô tỉ
Hãy xem nhé
nếu có vô số số nguyên tố
với căn bậc 2 là
số vô tỉ
thì đó là lý do
có vô số
số vô tỉ.
Một cách chứng minh khác
bằng chứng 1
rằng có vô số tập hợp
số vô tỉ
bằng chứng 2
nói một cách "phức tạp"
có vô số
số vô tỉ.
điều tôi vừa nói là
phần phân số
của số ảo không lặp
và vô tận
ngược lại
vì tôi đang xây dựng
biểu diễn phần thập phân không lặp vô tận
Vậy có bao nhiêu?
Đếm không xuể
nhưng
có vô số chuỗi
thập phân
Ví dụ, có thể
tung đồng xu hoặc tính bằng máy
một số ngẫu nhiên
và tùy vào kết quả
tung đồng xu, hay gì cũng được
Tôi có 1 số
Có
bao nhiêu số thập phân?
có vô số cách
để biểu diễn một chuỗi
thập phân vô hạn
như vậy có vô số
số vô tỉ, vì có
vô số cách biểu diễn
phần thập phân.
Từ đây chúng ta xét đến tập hợp tiếp theo
quan trọng nhất
trong các tập hợp
là số thực
Tập hợp thực gồm các số hữu tỉ
và, một cách không chính thức
số vô tỉ.
Lưu ý.
Tập hợp thực
là quan trọng nhất
và thường dùng nhất trong hệ
thống và khoa học ứng dụng
Vậy khi tính
là làm việc với số thực
khi làm đại số tuyến tính
tích phân
cũng là làm việc với số thực
Đôi khi các tập hợp
khác, nhưng nói chung
tập số thực hoặc tập con của nó
Có thể nói là
tổng hợp 2 tập này
vậy tôi có thể thêm
một vòng tròn vào biểu đồ Venn
biểu diễn các chuỗi
số hay gặp.
giờ ta có số thực
là tập hợp lớn nhất
nếu vẽ một đường thực
thì sẽ được đường thẳng, quan trọng là
không đứt đoạn
mặt khác, nếu vẽ tất cả
số thực trên đường đó
thì có nhiều lỗ hổng
đây là một kết quả hay dùng
của tóan
rằng giữa 2 số hữu tỉ là
1 số vô tỉ
Tập hợp thực cho chúng ta
một miền kín
không có lỗ hổng
tức là khi biểu diễn
tôi có, quan trọng là
một chuỗi liên tục
nếu biểu diễn số thực
thì được chuỗi liên tục
vậy nếu tôi theo dõi chuyển
động của 1 vật
hay 1 phân tử trong không gian?
hãy tưởng tượng ta thấy phân tử chuyển
động và theo dõi nó
và nó đi theo đường này
nó bắt đầu ở phía dưới,
bên trái đi sang phải
khi nó chuyển động, thời gian trôi qua
Vậy cách chúng ta quan sát chuyển động
cũng còn hơi gây tranh cãi
nhưng cách hiểu được chấp nhận
là tôi quan sát chuyển động
một cách liên tục
Như vậy các nhà toán học và
khoa học có thể dùng
mô hình biểu diễn
sự chuyển động liên tục này
nói khác đi, chúng ta
có thể dùng một
hệ thống số liên tục
các bạn đã nghe về
không-thời gian liên tục chứ?
tôi sẽ không đi quá xa đề nhưng
chúng ta sống
trong một không-thời gian liên tục
và hệ thống số chúng ta sử dụng
để biểu diễn là liên tục
đơn giản là
để làm rõ hơn
với những ai đã biết phương pháp
tính và phương trình
và, tại sao không?
chúng ta có phương trình
thường trong phương pháp tính
phương trình liên tục?
chúng có những
tính chất đặc biệt
nếu dùng một phương trình
liên tục
mô hình chuyển động
của phân tử, chúng ta dùng nó
cùng với miền xác định
của phương trình liên tục
và được một mô hình liên tục
nói chung
đó là một các biểu hiện điển
hình của hiện tượng sống.