Continuemos con nuestra discusión sobre los conjuntos comunes de números como hicimos hace unos momentos; el conjunto de todos los Enteros que se escribe con una Z mayúscula; el conjunto de los números racionales, en otras palabras un conjunto de fracciones que se escriben con una Q mayúscula; entonces hay algo más allá del dominio de los números racionales? Podemos pensar en cualquier cosa que no sea una fracción Bueno, uno de los números más famosos de todos es, en verdad, un número que no es racional. El número Pi, Pi tiene algunas extrañas propiedades, la expansión comienza con 3.1415 y así para adelante; uno de los aspectos interesantes de Pi es que tiene una extensión completa que no termina nunca, por lo tanto es infinito y además no se repite, o dicho de otra forma es no recurrente; entonces la forma en que se distribuyen los números en Pi es claramente aleatoria, no puedo escribir el número Pi como la razón entre un número entero sobre otro entero; entonces si un número no puede ser escrito de esta forma no se puede expresar como una forma racional, entonces se lo llama "irracional" Entonces Pi es un número irracional; ahí hay un número que no está en Q, vamos a etiquetarlo en el diagrama de Venn, el número Pi está por algún lado aquí afuera pueden notar que el número "e", que es otro número especial en matemáticas y en ciencias, que es 2.7 etc., etc., tiene también esta hermosa propiedad, su extensión nunca se repite y es infinita, es también un número irracional; entonces "e" está también por aquí; de hecho hay un conjunto infinito de números irracionales Cómo puedo argumentar que existe un conjunto infinito de números irracionales? un hecho concreto es que si tomamos la raíz cuadrada de un número primo; vamos a obtener un resultado irracional, es una extensión de una raíz de un primo; no se repite y continúa al infinito, es más extenso; número 2: el número de los primos es infinito; ahora, un primo, les recuerdo es un número entero, más grande o igual que 2 que sólo puede ser divisible por 1 y por sí mismo; por lo tanto sacar la raíz cuadrada de un primo da un irracional y el número de primos es infinito; esto no es necesariamente obvio, no sabemos a priori si es un hecho; estoy incluyendo una lectura extra, donde pruebo, euclidianamente, que existe un número infinito de primos; si ponemos las dos cosas juntas, podemos mostrar que existe un conjunto infinito de irracionales, vamos a ver si es así; entonces si existe un número infinito de primos y cuando aplico la raíz cuadrada me da un irracional, razonando, digo sí, hay un número infinito de iraccionales una pequeña y diferente justificación, la llamamos justificación 1, que existe un conjunto infinito de irracionales; justificación número 2, con alguna clase de complejidad, desde una perspectiva más nuclear, que dice que hay un número infinito de irracionales; como les dije antes la expansión de un número irracional es que no se repite y es infinita; podemos ahora ir para atrás; puedo si construyo un PI infinito tener más expansiones, puedo preguntar: cuántos son los posibles? ese es un gran problema de cálculo, pero resulta que hay un número infinito de esas pequeñas secuencias que sí puedo construir por ejemplo, digamos que empezamos tirando una moneda al aire y le pregunto a la computadora que calcule un número al azar o pseudo azar y de acuerdo a los valores, lo lleno con algún número cuantas diferentes expansiones son posibles? hay un número infinito de formas en las que puedo expresar un número que no se repita de esta expansión pequeña; hay infinitos números irracionales, debido a que hay infinitos casos de esas expansiones que yo puedo construir; esto nos lleva a un nuevo conjunto de números que es el más importante conjunto de números y que se llama Reales Los reales consisten en los Racionales, Q más los números Irracionales tomemos una nota aquí, los Reales, sin duda son el más importante y el más común de los sistemas numéricos en cualquier campo de la ciencia aplicada; cuando uno realiza cálculos uno trabaja con los Reales; cuando hacemos álgebra lineal o con ecuaciones diferenciales uno básicamente está trabajando con los Reales algunas veces puede ser que con otros conjuntos, pero en general son los Reales o algún subconjunto de los Reales; la notación apropiada diría que es la Unión de estos dos conjuntos; ahora puedo agregar otro círculo concéntrico a mi diagrama de Venn, que me muestra la secuencia de los conjuntos más comunes de números; ahora tenemos a los Reales, como la capa más externa si grafico la línea de los Reales, así se llama, yo obtengo una línea recta, y esto es importante, no va a haber agujeros; por el otro lado, si grafico los números Racionales sobre una línea, obtengo muchos agujeros; de hecho es bien sabido que entre dos números Racionales siempre hay un número Irracional Los Reales nos dan este dominio cerrado, en esencia no hay agujeros; en otras palabras, cuando grafico los Reales, obtengo y esto es importante, un continuo de números Entonces, si graficamos los Reales, obtenemos un continuum Ahora, qué pasa si quiero trazar el movimiento de un objeto o de una partícula en el espacio? imaginemos que vemos una partícula que se está moviendo y la seguimos y se mueve por este camino comienza en el lado izquierdo abajo y va hacia la derecha y a medida que se mueve va pasando el tiempo. El modo en que percibo el movimiento de esa partícula, es discutible, pero en general la interpretación más aceptada es que la experiencia del movimiento indica que es un proceso continuo; entonces los científicos y matemáticos lo usarán como un modelo que replica esa conducta continua; en otras palabras, probablemente nos gustaría usar, en general, un sistema numérico que sea continuo, ahora bien seguro que escucharon sobre el espacio- tiempo continuo, no? no quiero meterme en esto, pero en general nosotros sentimos que en el mundo real hay una continuidad en el espacio-tiempo y el sistema numérico que queremos usar para poder modelarlo es continuo; de forma similar, sólo para mostrarles esta noción; para todos aquellos de nosotros que tengamos alguna noción de cálculo o que hayamos visto funciones y, por qué no? pensamos en funciones; usualmente en cálculo nos gusta estudiar funciones que son continuas, no? aquellas que tienen unas lindas propiedades matemáticas; si tomamos una función que es continua, que puede ser un modelo para el movimiento de una partícula y la usamos junto al dominio de esa función que también es continuo, juntos podemos obtener un modelo continuo y generalmente esa será una buena descripción de un fenómeno del mundo real