Continuemos con nuestra discusión sobre los conjuntos comunes de números como
hicimos hace unos momentos; el conjunto de todos los Enteros que se escribe con una Z
mayúscula; el conjunto de los números racionales, en otras palabras un conjunto
de fracciones que se escriben con una Q mayúscula; entonces hay algo más allá del
dominio de los números racionales? Podemos pensar en cualquier cosa que no
sea una fracción
Bueno, uno de los números más famosos de todos es, en verdad, un número que no es
racional. El número Pi, Pi tiene algunas extrañas propiedades, la expansión
comienza con 3.1415 y así para adelante; uno de los aspectos interesantes de Pi es
que tiene una extensión completa que no termina nunca, por lo tanto es infinito y
además no se repite, o dicho de otra forma es no recurrente; entonces la forma en que
se distribuyen los números en Pi es claramente aleatoria, no puedo escribir el
número Pi como la razón entre un número entero sobre otro entero; entonces si un
número no puede ser escrito de esta forma no se puede expresar como una forma
racional, entonces se lo llama "irracional"
Entonces Pi es un número irracional; ahí hay un número que no está en Q, vamos a
etiquetarlo en el diagrama de Venn, el número Pi está por algún lado aquí afuera
pueden notar que el número "e", que es otro número especial en matemáticas y en
ciencias, que es 2.7 etc., etc., tiene también esta hermosa propiedad, su
extensión nunca se repite y es infinita, es también un número irracional; entonces
"e" está también por aquí; de hecho hay un conjunto infinito de números irracionales
Cómo puedo argumentar que existe un conjunto infinito de números irracionales?
un hecho concreto es que si tomamos la raíz cuadrada de un número primo; vamos a
obtener un resultado irracional, es una extensión de una raíz de un primo; no se
repite y continúa al infinito, es más extenso; número 2: el número de los primos
es infinito; ahora, un primo, les recuerdo es un número entero, más grande o igual
que 2 que sólo puede ser divisible por 1 y por sí mismo; por lo tanto sacar la raíz
cuadrada de un primo da un irracional y el número de primos es infinito; esto no es
necesariamente obvio, no sabemos a priori si es un hecho; estoy incluyendo una
lectura extra, donde pruebo, euclidianamente, que existe un número
infinito de primos; si ponemos las dos cosas juntas, podemos mostrar que existe
un conjunto infinito de irracionales, vamos a ver si es así; entonces si existe
un número infinito de primos y cuando aplico la raíz cuadrada me da un
irracional, razonando, digo sí, hay un número infinito de iraccionales
una pequeña y diferente justificación, la llamamos justificación 1, que existe un
conjunto infinito de irracionales; justificación número 2, con alguna clase
de complejidad, desde una perspectiva más nuclear, que dice que hay un número
infinito de irracionales; como les dije antes la expansión de un número irracional
es que no se repite y es infinita; podemos ahora ir para atrás; puedo si construyo un
PI infinito tener más expansiones, puedo preguntar: cuántos son los posibles? ese
es un gran problema de cálculo, pero resulta que hay un número infinito de esas
pequeñas secuencias que sí puedo construir por ejemplo, digamos que empezamos tirando
una moneda al aire y le pregunto a la computadora que calcule un número al azar
o pseudo azar y de acuerdo a los valores, lo lleno con algún número
cuantas diferentes expansiones son posibles? hay un número infinito de formas
en las que puedo expresar un número que no se repita de esta expansión pequeña; hay
infinitos números irracionales, debido a que hay infinitos casos de esas
expansiones que yo puedo construir; esto nos lleva a un nuevo conjunto de números
que es el más importante conjunto de números y que se llama Reales
Los reales consisten en los Racionales, Q más los números Irracionales
tomemos una nota aquí, los Reales, sin duda son el más importante y el más común
de los sistemas numéricos en cualquier campo de la ciencia aplicada; cuando uno
realiza cálculos uno trabaja con los Reales; cuando hacemos álgebra lineal o
con ecuaciones diferenciales uno básicamente está trabajando con los Reales
algunas veces puede ser que con otros conjuntos, pero en general son los Reales
o algún subconjunto de los Reales; la notación apropiada diría que es la Unión
de estos dos conjuntos; ahora puedo agregar otro círculo concéntrico a mi
diagrama de Venn, que me muestra la secuencia de los conjuntos más comunes de
números; ahora tenemos a los Reales, como la capa más externa
si grafico la línea de los Reales, así se llama, yo obtengo una línea recta, y esto
es importante, no va a haber agujeros; por el otro lado, si grafico los números
Racionales sobre una línea, obtengo muchos agujeros; de hecho es bien sabido que
entre dos números Racionales siempre hay un número Irracional
Los Reales nos dan este dominio cerrado, en esencia no hay agujeros; en otras
palabras, cuando grafico los Reales, obtengo y esto es importante, un continuo
de números
Entonces, si graficamos los Reales, obtenemos un continuum
Ahora, qué pasa si quiero trazar el movimiento de un objeto o de una partícula
en el espacio? imaginemos que vemos una partícula que se está moviendo y la
seguimos y se mueve por este camino
comienza en el lado izquierdo abajo y va hacia la derecha y a medida que se mueve
va pasando el tiempo. El modo en que percibo el movimiento de esa partícula, es
discutible, pero en general la interpretación más aceptada es que la
experiencia del movimiento indica que es un proceso continuo; entonces los
científicos y matemáticos lo usarán como un modelo que replica esa conducta
continua; en otras palabras, probablemente nos gustaría usar, en general, un sistema
numérico que sea continuo, ahora bien seguro que escucharon sobre el espacio-
tiempo continuo, no? no quiero meterme en esto, pero en general nosotros sentimos
que en el mundo real hay una continuidad en el espacio-tiempo y el sistema numérico
que queremos usar para poder modelarlo es continuo; de forma similar, sólo para
mostrarles esta noción; para todos aquellos de nosotros que tengamos alguna
noción de cálculo o que hayamos visto funciones y, por qué no? pensamos en
funciones; usualmente en cálculo nos gusta estudiar funciones que son continuas, no?
aquellas que tienen unas lindas propiedades matemáticas; si tomamos una
función que es continua, que puede ser un modelo para el movimiento de una partícula
y la usamos junto al dominio de esa función que también es continuo, juntos
podemos obtener un modelo continuo y generalmente esa será una buena
descripción de un fenómeno del mundo real