دعونا نستمر بمناقشتنا
للمجموعات الشائعة للأرقام
لقد ناقشنا منذ دقيقةٍ مضت.
مجموعة جميع الأعداد الصحيحة، والمكتوبة
بحرف Z كبير،
ومجموعة جميع الأعداد الكسرية.
بعبارة أخرى، مجموعة جميع الكسور،
والمكتوبة كحرف Q كبير.
إذاً، هل هناك أي شيء غير نطاق
الأعداد الكسرية؟
أي شيء ليس كسر
يمكن أن نفكر به؟
حسناً، أحد أشهر الأعداد
هو في الواقع ليس عدداّ كسرياً
الرقم "pi"
pi لديها نوع من الخصائص الملتوية،
أليس كذلك؟
نعلم امتداد العدد العشري
يبدأ 3،1415... وهكذا.
أحد الجوانب المثيرة للاهتمام للـ pi هو
أنّ امتداد العدد العشري يستمر للأبد،
لذلك إنّه لا نهائي،
وإنّه غير متكرر أيضاً
أو يمكنك القول غير دوري.
إذاً توزيع الأعداد
في الامتداد العشري لـ pi
هو عشوائي على نحوٍ فعال.
لا أستطيع كتابة pi كنسبة
لعدد واحد كامل (عدد صحيح واحد)
فوق عددٍ آخر.
إذاً، إذا كان رقم لا يمكن كتابته
بهذا الشكل،
إن كان لا يمكن التعبير عنه
بشكلً كسري
عندئذٍ يدعى غير كسري.
إذاً pi هو عدد غير كسري.
هناك عدد ليس موجود في مجموعة Q.
دعونا نوسم ذلك
في رسم فين البياني خاصتنا.
في مكانٍ ما هنا يوجد العدد pi.
قد تعلم أنّ العدد "e"،
يعتبر أيضاً عدداً خاصاً في الرياضيات والعلوم
نوعاً ما، وهو 2.7 ... الخ، الخ،
ولديه أيضاً هذه الخاصية الدقيقة
حيث أنّ امتداده العشري
غير متكرر ولا نهائي،
إذاً إنّه مثل العدد غير الكسري.
إذاً e موجود هنا بالخارج أيضاً.
في الواقع، هناك مجموعة لا نهائية
من الأعداد غير الكسرية.
كيف يمكنني أن أتأكد أنّ هناك
مجموعة لا نهائية من الأعداد غير الكسرية؟
هناك حقيقة بأنّك إذا أخذت
الجذر التربيعي لعدد أولي،
ستحصل على ناتج غير كسري.
إذاً، امتداده العشري
ليس متكرراً ولا نهائي.
العدد اثنان، هل هو من الأعداد
الأولية اللانهائية.
الآن، لتذكيركم فقط، العدد الأولي،
هو عدد كامل
أكبر أو يساوي 2
والذي قواسمه الوحيدة هم 1 ونفسه.
إذاً، الجذر التربيعي لعدد أولي
هو غير كسري
وعدد الأعداد الأولية هو لانهائي
الآن، هذا ليس بالضرورة واضحاً،
صحيح؟
لا نعلم هذا النوع من الاستدلال
في الواقع، سوف أشمل محاضرة
إضافية صغيرة حيث أبرهن la Euclid
حيث يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
إذا وضعت هؤلاء الاثنان مع بعضهما،
عندئذٍ يمكنك أن تثبت أنّ هناك
مجموعة لا نهائية من الأعداد غير الكسرية.
دعونا نتحقق من ذلك.
إن كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية
والجذر التربيعي لأي عدد أولي
هو غير كسري
عندئذٍ، ها هو السبب مجدداً أنّ
هناك عدد لانهائي
من الأعداد غير الكسرية.
تبرير مختلف قليلاً.
دعونا ندعو هذا تبرير رقم 1،
حيث أنّ هناك مجموعة لانهائية
من الأعداد غير الكسرية.
تبرير رقم 2،
من منظور "معقد" نوعاً ما،
حيث أنّ هناك عدد لانهائي
من الأعداد غير الكسرية.
ما قلته سابقاً هو أنّ
الامتداد العشري
للعدد غير الكسري هو غير متكرر
ولا نهائي.
إذاً يمكننا أن نعكس هنا،
لأنّي أنشأ فقط
امتدادات عشرية غير متكررة ومطلقة،
أستطيع أن اسأل، كم امتداد محتمل؟
الآن، هذه مشكلة عد كبيرة،
لكن كما تبيّن
هناك عدد لانهائي
لتسلسلات عشرية كهذه والتي أستطيع أن أنشئها.
على سبيل المثال، دعونا نقول أنّي بدأت من خلال
رمي العملة أو الطلب من الحاسوب
أن يحسب عدد عشوائي جداً
ووفقاً للنتائج،
قرعات العملة، أو أياً كان،
أكمل عدداً ما.
كم عدد الامتدادات
العشرية المختلفة كهذه ممكنة؟
هناك عدد لانهائي من الطرق
التي أستطيع أن أبرهن فيها الامتداد
العشري المطلق وغير المتكرر.
إذاً، هناك عدد لانهائي من
الأعداد غير الكسرية، لأنّ هناك
عدد لانهائي من الامتدادات
العشرية كهذه التي أستطيع إنشائها.
يقودنا هذا إلى مجموعتنا التالية من الأعداد،
المجموعة الأكثر أهمية
من الأعداد جميعهم،
والتي هي الأعداد الحقيقية.
تتألف الأعداد الحقيقية من الأعداد الكسرية
ودعونا نقول فحسب" زائد" الأعداد
غير الكسرية بشكل غير رسمي نوعاً ما.
فلتنتبه هنا.
أنّ الأعداد الحقيقية، هي بدون شك
نظام الأعداد الأكثر أهمية
والأكثر مصادفةً
في أي مجال علمي تطبيقي.
إذاً، عندما تقوم بالتفاضل والتكامل،
فإنّك تعمل مع الأعداد الحقيقية.
عندما تقوم بخوارزمية خطية،
معادلات تفاضلية، فإنّك بالأساس
تعمل مع الأعداد الحقيقية.
أحياناً مجموعات أخرى،
لكن بشكلً عام
إنّها الأعداد الحقيقية أو مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية.
بترميز مناسب، سنقول
إنّه في الواقع اتحاد هاتين المجموعتين.
إذاً، الآن، أستطيع أن أضيف
دائرة أخرى متحدة المركز لرسم فين البياني خاصتي،
والذي يظهر لنا تسلسل
المجموعات الشائعة للأعداد.
الآن، لدي الأعداد الحقيقية
كصدفة خارجية هنا.
إذا رسمت الخط البياني الحقيقي، كما يدعى،
سأحصل على خط مستقيم، ولكن من المهم
أن يكون بدون انقطاع.
من ناحيةٍ أخرى، إذا رسمت
الأعداد الكسرية على الخط بيانياً،
سأحصل على الكثير من الانقطاعات.
في الواقع، إنها نتيجة
رياضية معروفة جيداً
أنّه بين أي عددين كسريين
يوجد عدد غير كسري.
عندئذ الأعداد الحقيقية تعطينا هذا
المجال المغلق كامل العضوية نوعاً ما،
بمعنى أنّه لا يوجد انقطاعات.
بعبارة أخرى، عندما أرسم الأعداد الحقيقية بيانياً،
من المهم أن أحصل على
سلسلة من الأعداد المتواصلة.
إذاً، إذا رسمنا الأعداد الحقيقية بيانياً،
نحصل على سلسلة.
الآن، ماذا يحدث إذا تعقبت
حركة شيء نوعاً ما
أو جسيم في الفضاء؟
دعونا نتخيل أنّنا نرى جسيم متحرك
ونتعقبه،
ويذهب في موازاة هذا الطرق هنا.
إنّه يبدأ في الجزء السفلي الأيسر
وبمرور الوقت يتحرك نحو اليمين
بينما يذهب،
إذاً، الطريقة التي اختبرت بها حركة
الجسيم مختلف عليها قليلاً،
لكن بشكلٍ عام التفسير المقبول
هو أنّني اختبرت تلك الحركة
خلال عملية مستمرة.
إذاً، بناءً على ذلك، سيكون مفيداً
للرياضيين والعلماء
استخدام نموذج يكرر
ذلك السلوك المستمر.
إذاً، بعبارة أخرى، من المحتمل
أن نود أن نستخدم، بشكلٍ عام
نظام أعداد عبارة عن سلسلة متواصلة.
الآن، لقد سمعت
الزمان والمكان، صحيح؟
لن أصبح مؤمناً جديداً بالوعي الروحي هنا، لكننا
نختبرالعالم الحقيقي بشكلٍ عام
كزمان ومكان،
ونظام الأعداد الذي نريد استخدامه
لنصوغ ذلك هو سلسلة متواصلة.
الآن، وبشكلٍ مشابه،
فقط لنضيف هذا المفهوم
لأولئك منا الذين قاموا
بالقليل من التفاضل والتكامل أو قليلاً ما شاهدوا الدوال
ولما لا؟
يمكننا أن نفكر بدالة...
عاةً بالتفاضل والتكامل نود أن ندرس
الدوال المستمرة، صحيح؟
لدى هؤلاء نوع دقيق
من الخصائص الرياضية.
إذاً، إذا أخذنا دالة
مستمرة،
ربما كنموذج لحركة
جسيم، واستخدمناها
في دمجها مع المجال
لتلك الدالة والتي هي مستمرة أيضاً،
وكلاهما معاً نحصل على نموذج مستمر.
وبشكلٍ عام سيكون ذلك
وصفاً جيداً
لظواهر العالم الحقيقية.