Hola esta es la sección 1, el tema de la sección 1 es el conjunto de los números y
la notación de conjuntos
El objetivo de la sección es básicamente que nos podamos orientar y tener una
mirada en común para poder aprender el lenguaje de las matemáticas; incluyendo la
notación de los conjuntos, la notación de la construcción de conjuntos y
especialmente ver algunos de los conjuntos más comunes de números. Yo quiero que
entendamos esto a medida que avanzamos en esta unidad
El primero de estos conjuntos de números se escribe con Z mayúscula, o podemos
decir Z en "negrita" y es una notación concisa para el conjunto de todos los
enteros
Entero es simplemente un sinónimo de un número completo, ok? Entonces la mayúscula
Z se aplica para el conjunto de todos los enteros. Ahora bien, qué tamaño tiene este
conjunto? Bueno, es un conjunto infinito; hay un número infinito de enteros. De
hecho es un conjunto de números de doble infinito. Voy a escribir otra descripción
de ese conjunto (el conjunto de todos los enteros), en lo que se denomina la
notación de conjuntos. Para la notación de conjuntos tenemos que empezar con una
llave "{", entonces abrimos con una llave izquierda y al final de la definición
tengo que poner una llave derecha y en el medio voy a llenar con una descripción que
sea concisa y voy a poner todos los elementos de ese conjunto separados por
comas. Déjenme que les muestre como se hace. Tenemos punto, punto, punto, ahora
les digo qué significa eso y digamos 3 negativo, 2 negativo, 1 negativo, cero, 1,
2, 3, punto, punto, punto y agrego la llave derecha. Ok. Aquí tenemos la
notación de conjuntos para el conjunto de todos los enteros; lo que hice fue separar
los elementos, o simplemente los llamamos como miembros del conjunto de todos los
enteros, los separamos por comas y al final aquí, una forma de terminar con esta
descripción, usamos lo que llamamos elipsis, así los tres puntos significan
que continua para siempre en ambas direcciones hacia el infinito positivo a
la derecha y a la izquierda hacia el infinito negativo; eso es lo que quiero
decir con un arreglo doble infinito; puedo describir este conjunto dibujando lo que
se llama Diagrama de Venn; tengo este marco de trabajo, tengo un universo de
conjuntos, donde U significa Universo, este es un ejemplo de una Diagrama de Venn
dentro de ese universo, tengo este conjunto, un conjunto grande seguramente
el conjunto de todos los Enteros; lo etiquetamos, es una especie de burbuja y
ponemos la Z ahí, para indicar que es el conjunto de todos los Enteros. Bien la
pregunta que quiero hacer es: hay algunos números por fuera de este conjunto que
podamos imaginar? Y la respuesta es, claro sí, hay muchos números y seguro que son
conocidos, ellos no están contenidos en el conjunto de todos los Enteros. Quiero
decir, un solo ejemplo podría ser el número 1/2. Este número lo tendremos
flotando en algún lugar aquí afuera, voy a usar un punto para indicar que se
encuentra aquí, ciertamente está fuera del conjunto de todos los Enteros. Entonces
por encima de todo, veamos un poco más de la notación que se utiliza, esta es la
notación de conjuntos, nos gusta cuando hablamos de conjuntos, poder describir en
forma coherente lo que denominamos la "pertenencia" de ese conjunto. Por ejemplo
aquí está la notación, pensemos en el número 4, el número 4 es un número entero
y entonces puedo escribir de esta forma, que voy a leer de la siguiente manera:
este símbolo, si no están familiarizados es Epsilon y Epsilon aquí en relación a
los conjuntos quiere decir que es un "elemento de", uno puede leerlo como un 4
que es un elemento de los Enteros o podemos decir que 4 está contenido dentro
de los Enteros. Entonces, sí, seguro, 4 está dentro de los Enteros, está dentro de
la burbuja, en algún lugar en el diagrama de Venn, pero 1/2 no está allí, así es
como denotamos la pertenencia en un conjunto, 4 es un elemento de y usamos el
símbolo Epsilon, puedo en forma similar escribir que 0 es un elemento de los
Enteros u 8 es un elemento de los Enteros y así sucesivamente; como puedo decir que
algo no es un elemento, usando esta misma notación; bueno, por ejemplo, observemos
1/2 no es un elemento de, es el símbolo Epsilon pero tachado, así es la forma
típica de escribirlo; 1/2 no está, no es un elemento de, recuerden, de los Enteros
de hecho, podemos ver que casi todas las fracciones no estarán contenidas dentro de
los Enteros, esto quiere decir que hay más ahí afuera que merece ser descubierto,
esto nos lleva a nuestro próximo conjunto natural de números
pensemos en Q, que viene de cociente, mayúscula Q, otra vez estamos frente a
una notación concisa, que se usa para lo que usualmente se denomina el conjunto de
todos los números Racionales, qué es un número Racional? la definición de Racional
implica una Razón, es una fracción, los números Racionales son el conjunto de
todas las fracciones. Podemos escribir todos los elementos en ese conjunto de la
siguiente forma, puedo decir que Q, consiste de todos los elementos que se ven
como a dividido b y con esta línea vertical, en la notación de conjuntos
quiere decir "tal que", el conjunto de todas las cosas que se ven así, definiendo
la pertenencia a partir de este criterio, a y b son enteros, y siendo precisos no
podemos dividir por cero; no podemos tener al cero en el denominador; por lo tanto
tenemos que especificar que b no puedo ser cero. Aquí lo tenemos; un comentario más
sobre los números Enteros y Racionales es que tienen una linda relación, si lo
pensamos. Los Enteros están contenidos completamente dentro de los Racionales.
Otra forma de decir esto es que los Enteros son un subconjunto de los
Racionales y la forma en que ésto se escribe en la notación de conjuntos es que
podemos escribir que los Enteros están contenidos dentro de los Racionales. Esta
notación es lo que llamamos un subconjunto o también podemos pensar en un contenedor
Otra vez, aquí diremos que Z es un subconjunto, está contenido dentro de los
Racionales. Cómo puedo dibujar esto con un diagrama de Venn? Bueno dibujemos otra
gran burbuja, que contenga completamente a Z; también va a contener a esta fracción,
1/2, eso seguro y ahí tenemos esta otra burbuja de afuera, que es mi Q, así Z está
completamente contenida en Q; puede ser de ayuda conectar estas cosas; por
supuesto todos sabemos, por ejemplo, en términos de números que 1 es menor a 2,
aquí usamos este símbolo para representar esa relación. Del mismo modo para los
conjuntos, podemos decir de qué clase es un conjunto, en el sentido de que es más
pequeño que otro; entonces esta relación quiere decir que este conjunto Z está
está contenido o es más pequeño en este sentido; está contenido dentro de Q. Ok
ahora vamos a construir la secuencia completa de los conjuntos más comunes de
números con que nos vamos a topar en cualquier campo de la ciencia aplicada,
comenzando con Z y con Q. Esta es nuestra base.