مرحباً، هذا القسم الأول.
موضوع هذا القسم هو
المجموعات الشائعة للأعداد
وترميز المجموعات.
إذاً، الهدف من هذا القسم بشكل أساسي
هو توجيه أنفسنا
لنبني أساس مشترك
لتعلم لغة
الرياضيات،
بما فيها ترميز المجموعات،
ترميز بناء المجموعات،
ولذلك هناك مجموعات
شائعة من الأعداد على وجه التحديد
والتي أريد أن أوضحها لأكون مدرك لها
بينما نتقدم في هذه الوحدة.
المجموعة الأولى من مجموعات الأعداد هذه
مكتوبة كحرف Z كبير،
أو يمكنك القول، Z بارزة،
وذلك رمز مختصر
لمجموعة جميع الأعداد الصحيحة .
الآن، العدد الصحيح هو مرادف
لعدد تام فحسب، حسناً؟
إذاً، هذا الحرف الكبير Z،
يرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة.
الآن، ما هو كبر هذه المجموعة؟
حسناً، تلك مجموعة، مجموعة لا نهائية.
هناك عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة.
في الواقع، إنّها مجموعة لانهائية بشكلٍ
مضاعف من الأعداد.
إذاً، سأكتب وصفاً
آخر لتلك المجموعة
(مجموعة كل الأعداد الصحيحة)
أو بما تدعى ترميز المجموعة
إذاً، لترميز المجموعة،
تبدأ بقوس مموج، حسناً؟
إذاً، قوس مموج أيسر،
ومن ثمّ عند نهاية هذا التعريف
لدي قوس مموج أيمن، هنا،
ومن ثمّ سأملأ فيما بينهم
بكل هذا الوصف الموجز
وكل العناصر لتلك المجموعة،
مفصولة بواسطة فواصل.
دعوني أريكم كيف يعمل هذا.
إذاً لدينا نقطة، نقطة، نقطة.
سأتحدث عمّا يعنيه ذلك،
ودعونا نقول فقط
3-، 2-،
1-، صفر، واحد،
اثنان، ثلاثة،
نقطة نقطة نقطة.
سوف أُلحِق هذه
بقوس مموج أيمن.
حسناً.
إذاً، ها هو ترميز المجموعة
لمجموعة جميع الأعداد الصحيحة.
ما فعلته
هو أنّي فصلت
العناصر
أو، ببساطة، دعونا ندعوهم عناصر
مجموعة جميع الأعداد الصحيحة
بواسطة الفواصل،
وعند النهاية هنا،
إنّي أغلف هذا الوصف نوعاً ما
بما يدعى علامات الحذف،
لذلك إنّ نقطة نقطة نقطة تعني
أنّنا نستمر للانهاية
على كلا الاتجاهين،
نحو اللانهاية الموجبة
لليمين ولليسار
مع مراعاة اللانهاية السالبة.
ذلك ما عنيته بكونها
مجموعة لا نهائية بشكل مضاعف.
حسناً.
الآن، أستطيع أن أصف هذه المجموعة.
سأرسم شيئاً ما يدعى
رسم فين البياني، هنا.
إذاً، دعونا نقول فقط أنّ لدي هذا الهيكل.
لدي كون من المجموعات.
إذاً، ترمز U إلى الكون.
هذا مثال لرسم فين البياني.
بداخل هذا الكون، لدي هذه المجموعة،
كما هو متوقع بالتأكيد
مجموعة جميع الأعداد الصحيحة
إذاً، نميز ذلك فقط.
إنّها فقاعة نوعاً ما،
نطبق فقط هذه الـ Z هناك،
لنشير فقط إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة تلك.
الآن السؤال
الذي أريد أن أسأله أو أطرحه هو:
هل هناك أعداد
خارج تلك المجموعة
يمكننا أن نتخيلها؟
والإجابة هي، بالطبع نعم،
وهناك الكثير من الأعداد
التي قد تبدو مألوفة لك
والتي ليست ضمن
مجموعة جميع الأعداد الصحيحة .
أعني، كمثال،
سيكون كالرقم 1/2، صحيح؟
1/2 سيكون طليق هنا.
في مكانٍ ما.
سأستخدم فقط نقطة نوعاً ما
لأشير
إلى الـ 1/2 هناك.
إنّه بالتأكيد خارج
مجموعة جميع الأعداد الصحيحة .
إذاً، عقب ذلك،
دعونا نقدّم المزيد من
بعض الترميز قليلاً.
إذاً، ها هو ترميز المجموعة.
الآن، عندما نتحدث عن المجموعات
نود أن نكون
قادرين على وصف ما يدعى العضوية
في تلك المجموعة
بشكل منطقي.
إذاً، على سبيل المثال،
ها هو الترميز في حالة العمل.
دعونا نقول، العدد 4.
العدد 4.
ذلك عدد تام.
ذلك عدد صحيح.
إذاً، أستطيع كتابة هذا الترميز بمجموعة من الرموز.
إذاً سأقرأ هذا كالتالي.
هذا الرمز، إن لم تكن مألوفاً له
إنّه epsilon،
و epsilon هنا،
على علاقة مع المجموعات،
يعني فقط أنّه "إنّه عنصر من"
يمكنك قراءة ذلك
كـ 4 ، هو عنصر من الأعداد الصحيحة،
أو يمكنك أن تقول 4 موجودة ضمن
الأعداد الصحيحة.
إذاً، نعم، إنّنا متأكدون بما فيه الكفاية
أنّ 4 موجودة ضمن الأعداد الصحيحة.
ذلك في الفقاعة.
في مكانٍ ما في رسم فين البياني خاصتي،
لكن 1/2 ليس موجوداً هناك.
إذاً، هكذا كيف نشير إلى
العضوية في المجموعة.
"4 هو عنصر من"
نستخدم رمز إبسيلون.
أستطيع أن اكتب بشكلٍ مشابه
0 هو عنصر من الأعداد الصحيحة،
أو 8 هو عنصر من الأعداد الصحيحة،
وهكذا.
كيف يمكن أن أُظهر
شيئاً ما ليس عنصراً منها
باستخدام ترميز العضوية هذا؟
حسناً، على سبيل المثال،
لقد لاحظنا فحسب، ومصادفةً،
"1/2 ليس عنصر من"
إذاً، سأقول فقط أنّ
إبسيلون مع / خلاله
هي الطريقة النموذجية لترميز هذا،
و 1/2 ليس عنصر من
الأعداد الصحيحة.
لا تنسى ذلك.
في الواقع، يمكننا أن نرى
أنّ معظم ، وحتى أي كسر
لن يكون
موجود ضمن الأعداد الصحيحة،
إذاً، هناك الكثير والكثير من
الأنواع الموجودة لاستكشافها.
يقودنا هذا إلى نوعنا التالي
من المجموعة الطبيعية من الأعداد.
فكر ب Q كتمثيل لحاصل القسمة.
إذاً، Q كبيرة، هي ترميز
موجز مجدداً
تمثل لما نشير له عادةً
بمجموعة جميع الأعداد الكسرية .
ما هو العدد الكسري؟
حسب التعريف، العدد الكسري هو
كالنسبة تماماً.
إنّه كسر.
مجموعة جميع الأعداد الكسرية هي
مجموعة جميع الكسور
يمكننا كتابة كل
العناصر في تلك المجموعة
بالشكل التالي.
يمكنني أن أقول تتألف Q
من كل العناصر التي تبدو هكذا
"a" تقسيم "b"
وهذا الخط العمودي في
تدوين بناء المجموعة
يُقرأ "مثل ذلك"
إذاً، مجموعة جميع الأشياء
التي تبدو هكذا،
تحدد العضوية هنا،
هذا المعيار
a و b هما عددان صحيحان
وإن كنا شاملين تماماً
لا يمكننا التقسيم على صفر.
لا يمكن أن يكون لدينا
صفر في المقام.
إذاً يجب علينا أيضاً أن نحدد
أنّ b لا يمكن أن تكون صفر.
إذاً، الآن أصبحتم تعرفوها.
ملاحظة أخرى على
الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية
هي أنّ لديهم علاقة جيدة
إن فكرت بهذا.
الأعداد الصحيحة محتواة
بشكلٍ كامل داخل الأعداد الكسرية.
طريقة أخرى لشرح ذلك
هي أنّ الأعداد الصحيحة هي
مجموعة فرعية صحيحة من الأعداد الكسرية،
والطريقة المكتوبة في تدوين المجموعة
هي أنّك ستقول
الأعداد الصحيحة محتواة
داخل الأعداد الكسرية.
إذاً، هذا الترميز
ما يدعى بمجموعة جزئية
أو يمكنك أن تفكر بالإحتواء.
إذاً، مجدداً، يمكننا القول أنّ
Z هي مجموعة جزئية
محتواة داخل
الأعداد الكسرية.
كيف نوضح ذلك
برسم فين البياني؟
دعونا نرسم فقاعة أخرى، أكبر هذه المرة
والتي تحتوي Z بشكلٍ كامل.
وستحتوي أيضاً هذا الكسر
1/2 بالتأكيد.
وهناك، تلك الفقاعة الخارجية هي Q خاصتي
إذاً، Z محتواة بشكلٍ كامل داخلها
يساعدنا ذلك على ربط
هؤلاء الأشياء نوعاً ما.
بالطبع نعلم جميعاً ، من ناحية الأعداد
على سبيل المثال،
1 هو أقل من 2.
نستحدم هذا النوع من رمز العلاقة.
حسناً، بشكلٍ مشابه بالنسبة للمجموعات،
يمكننا أن نتحدث عن نوع مجموعة واحدة
بمعنى كونها أقل
من مجموعة أخرى.
إذاً، تعني هذه العلاقة أنّ هذه
المجموعة فحسب، Z محتواة أو أصغر
بالطريقة
المحتواة داخل Q.
حسناً.
إذاً، ما سنفعله هو
بناء تسلسل كامل
لأكثر المجموعات انتشاراً
سوف تصادف دائماً
في أي مجال علمي تطبيقي
بدايةً مع Z و Q.
ذلك من أساسياتنا نوعاً ما.