Tutorial de caminatas aleatorias Matemáticas para Sistemas Complejos Sid Redner Profesor del Instituto de Santa Fé Sección 15 Usos elementales del fenómeno de primer paso (parte II) Otro uso importante de las ideas del primer pasaje es la cinética química. Uno normalmente está interesado en qué tan eficientemente los reactivos difusivos hacen una reacción. Este problema sencillo se llama "Teoría de la velocidad de reacción" Aquí está la construcción del problema: considera una esfera de radio "a". que está inmersa en un fluido que contiene partículas difusivas. Las partículas están en una concentración "c", desconocida pero fija. Cada partícula se difunde, y si una de estas partículas golpea la esfera, es absorbida. Y cada partícula se difunde de acuerdo con un coeficiente de difusión "D". Lo que queremos calcular es qué tan rápido se absorben las partículas en la superficie de la esfera. Esto es encarnado por algo llamado la velocidad de reacción, denotado por la letra "k". Entonces "k" es definida como la velocidad de reacción y está definida como el número de partículas absorbidas por unidad de tiempo Esta definición no está completa pues claramente si duplicamos la concentración duplicaremos el número de partículas que se absorben Entonces para obtener la tasa intrinseca debes dividir entre la concentración total. Sin hacer algún cálculo, esta fórmula simple ya contiene resultados impresionantes. Vamos a hacer el análisis de dimensiones y preguntemos cuál es la dimensión de la velocidad de reacción [k] Entonces, la dimensión de las partículas: no hay dimensión hay un "uno sobre tiempo", y la concentración es "uno sobre el volumen". Y entonces, la dimensión de la velocidad de reacción "k" es una medida de longitud a la potencia de la dimensión del espacio dividido entre el tiempo Por otra parte, ¿de qué puede depender una reacción? Claramente los únicos dos parámentros que describen al sistema mismo son el radio de la esfera "a" y el coeficiente de difusión de las partículas "D" Entonces la velocidad de reacción debería ser una función del coeficiente de difusión y del radio de la esfera que absorbe. Una cosa más para notar es que la dimensión del coeficiente de difusión (nosotros discutimos esto antes en este tutorial) es una medida de longitud al cuadrado dividida entre el tiempo. Entonces, armados con la información que sabemos sobre la dimensión del coeficiente de difusión y la dimensión de la esfera; podemos inferir cómo la velocidad de reacción depende de los parámetros del sistema. Sabemos que la velocidad de reacción escala a uno sobre el tiempo. El único lugar donde el tiempo aparece es en el coeficiente de difusión, claramente la velocidad de reacción debería ser una función lineal del coeficiente de difusión. Si usamos ese hecho, entonces tenemos la longitud al cuadrado en el numerador, mientras que la velocidad de reacción tiene la longitud a la "d" en el numerador. La única manera en la que podemos manejar las cosas para tener una potencia d en el numerador es tener a^(d-2) en el numerador. De estas consideraciones simples inferimos que la velocidad de reacción debería ser proporcional al coeficiente de difusión por el radio de la esfera a la d-2. Este es el resultado básico de la teoría de la velocidad de reacción: que la velocidad de reacción tiene esta dependencia en el coeficiente de difusión y el radio de la esfera. Veamos esto en más detalle porque esto ya tiene algunos resultados muy impresionantes. Primero que nada pensemos en tres dimensiones, espacio físico. En este caso la velocidad de reacción es proporcional al radio de la esfera. Y pongo un signo de exclamación al lado de esto para enfatizar el hecho de que no es proporcional a la sección transversal de la esfera, si no al radio de la esfera. Entonces depende enormermemente de la dimensión Por otro lado, si estamos por debajo de dos dimensiones entonces algo aún más raro parece suceder porque aquí dice que debajo de dos dimensiones esto es una función tal que la velocidad de reacción aumenta mientras a disminuye Y una vez más pongamos un signo de exclamación al lado de eso porque claramente este resultado no tiene sentido No es posible tener un incremento en la velocidad de reacción mientras reduces el tamaño de esta esfera. El punto es que por debajo de dos dimensiones hay una nueva dependencia en los parámetros del sistema. Trabajemos ahora la teoría de la velocidad de reacción cuantitativamente en tres dimensiones. Tenemos nuestro planteamiento familiar: de una esfera absorbente de radio a que está inmersa en un fluido de partículas difusivas, cada una se difunde con un coeficiente de difusión D. Cuando una de estas partículas difusivas golpea la superficie de la esfera, es absorbida. Para computar la velocidad de reacción lo primero que tenemos que computar es el perfil de concentración de partículas fuera de la esfera. Y después, de ahí ya podemos computar el flujo de partículas a la superficie de la esfera misma. Entonces para la primera parte del problema, encontral el perfil de concentración debemos resolver el problema clásico de la frontera Debemos resolver la ecuación de difusión dc/dt=D napla^2 c sujeta a condiciones iniciales y de frontera apropiadas Y una condición inicial apropiada es que la concentración fuera de la frontera de la esfera en el tiempo inicial, podemos decir que la concentración es lo que sea digamos que es 1. Y también tenemos la condición de la frontera Si una partícula golpea la esfera en cualquier tiempo positivo es absorbida, que corresponde a la condición de absorción de la frontera, donde la concentración es cero Este es el problema que debemos resolver Es un problema clásico del valor de la frontera La solución puede ser escrita en términos de funciones de Bessel. Y con un poco de inteligencia, uno puede, de hecho, transformar esto en un problema de una dimensión donde la solución puede ser escrita en términos de funciones elementales. Llámese la función de XXXX Me voy a evitar todo eso aprovechándome del hecho de que en tres dimensiones la partícula difusiva, o un caminante aleatorio, es transitorio. Eso es, la probabilidad de que la partícula empezando a alguna distancia de la esfera en realidad la golpee es menor que 1. 7:06 What this...