Tutorial de caminatas aleatorias Matemáticas para Sistemas Complejos
Sid Redner Profesor del Instituto de Santa Fé
Sección 15 Usos elementales del fenómeno de primer paso (parte II)
Otro uso importante de las ideas del primer pasaje
es la cinética química.
Uno normalmente está interesado en qué tan eficientemente
los reactivos difusivos hacen una reacción.
Este problema sencillo se llama "Teoría de la velocidad de reacción"
Aquí está la construcción del problema:
considera una esfera de radio "a".
que está inmersa en un fluido que contiene partículas difusivas.
Las partículas están en una concentración "c", desconocida pero fija.
Cada partícula se difunde,
y si una de estas partículas golpea la esfera, es absorbida.
Y cada partícula se difunde de acuerdo con un coeficiente de difusión "D".
Lo que queremos calcular
es qué tan rápido se absorben las partículas en la superficie de la esfera.
Esto es encarnado por algo llamado la velocidad de reacción,
denotado por la letra "k".
Entonces "k" es definida como la velocidad de reacción
y está definida como
el número de partículas absorbidas por unidad de tiempo
Esta definición no está completa
pues claramente si duplicamos la concentración
duplicaremos el número de partículas que se absorben
Entonces para obtener la tasa intrinseca
debes dividir entre la concentración total.
Sin hacer algún cálculo, esta fórmula simple
ya contiene resultados impresionantes.
Vamos a hacer el análisis de dimensiones
y preguntemos cuál es la dimensión
de la velocidad de reacción [k]
Entonces, la dimensión de las partículas: no hay dimensión
hay un "uno sobre tiempo",
y la concentración es "uno sobre el volumen".
Y entonces, la dimensión de la velocidad de reacción "k" es
una medida de longitud a la potencia de la dimensión del espacio dividido entre el tiempo
Por otra parte, ¿de qué puede depender una reacción?
Claramente los únicos dos parámentros
que describen al sistema mismo son
el radio de la esfera "a"
y el coeficiente de difusión de las partículas "D"
Entonces la velocidad de reacción
debería ser una función
del coeficiente de difusión
y del radio de la esfera que absorbe.
Una cosa más para notar es que
la dimensión del coeficiente de difusión
(nosotros discutimos esto antes en este tutorial)
es una medida de longitud al cuadrado dividida entre el tiempo.
Entonces, armados con la información que sabemos
sobre la dimensión del coeficiente de difusión
y la dimensión de la esfera;
podemos inferir cómo la velocidad de reacción
depende de los parámetros del sistema.
Sabemos que la velocidad de reacción escala a uno sobre el tiempo.
El único lugar donde el tiempo aparece
es en el coeficiente de difusión,
claramente la velocidad de reacción
debería ser una función lineal del
coeficiente de difusión.
Si usamos ese hecho, entonces tenemos
la longitud al cuadrado en el numerador,
mientras que la velocidad de reacción tiene
la longitud a la "d" en el numerador.
La única manera en la que podemos manejar las cosas
para tener una potencia d en el numerador es tener
a^(d-2) en el numerador.
De estas consideraciones simples
inferimos que la velocidad de reacción
debería ser proporcional
al coeficiente de difusión
por el radio de la esfera a la d-2.
Este es el resultado básico
de la teoría de la velocidad de reacción:
que la velocidad de reacción
tiene esta dependencia en el
coeficiente de difusión y el radio de la esfera.
Veamos esto en más detalle
porque esto ya tiene algunos
resultados muy impresionantes.
Primero que nada pensemos en tres dimensiones,
espacio físico.
En este caso la velocidad de reacción
es proporcional al radio de la esfera.
Y pongo un signo de exclamación al lado de esto
para enfatizar el hecho de que
no es proporcional a la sección transversal
de la esfera, si no al radio de la esfera.
Entonces depende enormermemente de la dimensión
Por otro lado, si estamos por debajo de dos dimensiones
entonces algo aún más raro
parece suceder porque aquí dice
que debajo de dos dimensiones
esto es una función tal que la velocidad de reacción
aumenta
mientras a disminuye
Y una vez más pongamos un signo de exclamación
al lado de eso
porque claramente este resultado no tiene sentido
No es posible tener un incremento en la
velocidad de reacción
mientras reduces el tamaño de esta esfera.
El punto es que por debajo de dos dimensiones
hay una nueva dependencia
en los parámetros del sistema.
Trabajemos ahora la teoría de
la velocidad de reacción cuantitativamente
en tres dimensiones.
Tenemos nuestro planteamiento familiar:
de una esfera absorbente de radio a
que está inmersa en un fluido
de partículas difusivas, cada una se difunde
con un coeficiente de difusión D.
Cuando una de estas partículas difusivas
golpea la superficie de la esfera,
es absorbida.
Para computar la velocidad de reacción
lo primero que tenemos que computar
es el perfil de concentración de partículas fuera de la esfera.
Y después, de ahí ya podemos computar
el flujo de partículas a la superficie
de la esfera misma.
Entonces para la primera parte del problema,
encontral el perfil de concentración debemos
resolver el problema clásico de la frontera
Debemos resolver la ecuación de difusión
dc/dt=D napla^2 c
sujeta a condiciones iniciales y de frontera apropiadas
Y una condición inicial apropiada
es que la concentración fuera de la frontera de la esfera
en el tiempo inicial, podemos decir que la concentración es lo que sea
digamos que es 1.
Y también tenemos la condición de la frontera
Si una partícula golpea la esfera en cualquier tiempo positivo
es absorbida, que corresponde a la condición
de absorción de la frontera, donde la concentración es cero
Este es el problema que debemos resolver
Es un problema clásico del
valor de la frontera
La solución puede ser escrita en términos de
funciones de Bessel.
Y con un poco de inteligencia,
uno puede, de hecho, transformar esto en
un problema de una dimensión
donde la solución puede ser escrita
en términos de funciones elementales.
Llámese la función de XXXX
Me voy a evitar todo eso aprovechándome
del hecho de que en tres dimensiones
la partícula difusiva, o un caminante aleatorio,
es transitorio.
Eso es, la probabilidad de que la partícula
empezando a alguna distancia de la esfera
en realidad la golpee es menor que 1.
7:06 What this...