现在我来概述一下中心极限定理的证明
这个证明从
概率分布的演化方程
出发，我写下来P_N(x)
N步后，我在位置x，
这种情况这是怎么发生的?
为了在第N步到达位置x，
我必须在N-1步在的某个其他地方
概率为P_(N-1)(x')，然后在一步后
从x'到x, 所以p(x'->x)
这个方程
被称为查普曼-柯尔莫哥洛夫方程
表示为在第N步在位置x
随机游走者在N-1步的时候
在其他地方，然后从这个“其他地方”
跳到x
因此我需要对这些作为中转站的“其他地方”进行积分
现在，
为了化简它，我要利用
傅里叶变换技术，请注意
这个物体被称为卷积，因为
通过我们在一步之内从x '到x。所以
如果我对这个方程进行傅里叶变换，实际空间中的卷积
在傅里叶空间中是乘法
所以，在傅里叶变换之后，
我们基本上有一个更简单的表述
P_N(k)， k是强调
傅里叶变换函数，
所以P_N(k)不是P_N(x)用k代替x，
而是一个不同的函数--经过了傅里叶
变换--它等于P_(N-1)(k)*小p(k)
现在我可以用这个递归公式了
然后一直递归到
开始的那一刻，并推断…好吧,
我们先一次只做一步。P(N-1),
等于P(N-2)(k)乘以
小p (k)的平方。然后继续
过程，直到最后，
得到的结果等于
P_0(k)乘以p的N次方，但是，
如果我们想象一个粒子从原点开始，
那就意味着_0 (x)是位于x的delta函数，
它的傅里叶变换是1，所以这个
化简成p(k)的N次方。
现在，求概率分布
作为x的函数，我们只需要逆
傅里叶变换P_N(k)。我把它写出来，
所以P_N(x)等于1 / 2，积分负除以
所有的空间，所以它是p(k)的
N次方，e ^ ikx。让我在一维空间中
进行处理，因为在高维中
没有概念上的区别，只是
更笨拙（处理起来更麻烦），我们把它写成
从负无穷到正无穷的积分
一维积分。但现在
我要利用这一事实：
即单步分布有这样一个特点：
均方位移是有限的。
现在我们回到p(k)
他是p(x)的傅里叶变换，那么
P (x) e ^ (ikx) dx。用泰勒级数进行展开
我们有p(x)
有1 + ikx - k²
x²/ 2加上高阶函数
dx。我们来识别每一项
第一项，p(x) 1 dx，
这是我在一步之内跳到任何地方的概率
通过构造，这个
等于1。下一项，ik
在前面，然后是
p(x) x dx的积分，这表示
一步的平均位移,
这是 ikx 的平均值。
同样的，第二项是
k²/ 2，然后得到积分
p(x) (x²) dx ，表示
一步之后的位移的平方均方
加高阶项。
来完成这个证明剩下的部分
简单点，我把自己限制在
对称的情况，我把不对称的情况
给你流程作业
所以我先忽略这一项
以为我假设
随机游走是对称的。所以现在我
把p(k)代回对P_N(x)积的分，
所以P_N(x)等于
1 / 2 * pi, （1-k² ）的积分
除以二
取它的N次方，然后e的- ikx dk。
现在我要利用
我对N很大和的k很小
很感兴趣这一事实，小k在傅里叶定义域
对应大X，所以我可以用指数近似
这个东西。
这个渐近于1 / 2 e
^ (- nk²)x²的平均值
除以2乘以- ikx dx。现在我
利用这样一个事实：
高斯函数经过傅里叶变换还是高斯函数
最后我得到，
--再一次，我跳过了所有简单的代数步骤，
我把它留给学生做练习--
1除以根号2piN
x² 平均值 e ^ (- x²)
除以2nx²的平均值。
者就是对称的随机游走
产生的中心极限定理，其中平均位移
单步期待值是0。再一次，
我想强调的是，这个分布是
高斯函数，而且它独立于
每个步骤的几乎所有细节。
所以这种普遍的行为在在统计物理中许多问题
是强大的，统一的。
它也在随机游走理论的发展中
有着很重要的作用